vysvetlenie učiva, príklady, testy, materiály pre žiakov i učiteľov
Výklad učiva, vysvetlenie učiva je veľmi dôležitou súčasťou vzdelávacieho procesu, pretože bez správneho vysvetlenia učiva nemôžete neskôr riešiť rôzne aplikačné príklady.
Pohodová matematika sa snaží vysvetľovať tak, aby bolo vysvetlenie učiva prínosné pre každého. Nemyslite si ale, že stačí čítať. Nestačí. Majte vždy pripravený zošit a pero. Píšte, prepočítavajte jednotlivé príklady, aj keď sú riešené (aspoň si môžete overiť svoje riešenie), snažte sa pochopiť a spraviť si pritom aj vlastné poznámky. Keď sa neskôr k príkladu vrátite, budete mu rozumieť, pomôže vám v riešení ďalších úloh a nebudete sa musieť znovu všetko učiť.
Keďže človek je tvor omylný :) – a my, ktorí tvoríme tento web sme tiež len ľudia – ospravedlňte prosím prípadné drobné chybičky a upozornite nás na ne, aby nemohli miasť ostatných.
Výroková forma je výraz obsahujúci premenné, po dosadení ktorých sa z neho stane výrok. Príkladom výrokovej formy je x2–2x>0. Všimnite si, že výroková forma sama o sebe nie je výrok (nemá zmysel uvažovať, či je platná alebo nie), až po vhodnom dosadení za premenné, napr. 22-2·2>0, z nej vzniká výrok. Podobne ako vytvárame zložené výroky, …
Ako vydelíme spamäti 72:6? Pozrite sa na nasledujúci postup, pritom nezabudnite, že riešenie bude iba vo vašej hlavičke :) najskôr si spravíme rozklad čísla 72 na 2 sčítance … 72 = 60 + 12 potom samostatne vydelíme číslom 6 každý zo sčítancov, teda 60:6=10, 12:6=2 vzniknuté súčiny sčítame … 10+2=12 72:6=12 Postup môžeme zapísať aj …
Ako vynásobíme spamäti 21·4? Postup je jednoduchý, ale nezabudnite, že celý postup riešenie bude iba vo vašej hlavičke :) najskôr si spravíme rozklad čísla 21 na 2 časti … 21 = 20 + 1 potom samostatne vynásobíme číslom 4 každú časť, teda 20·4=80, 1·4=4 výsledky sčítame … 80+4=84 21·4=84 Postup môžeme zapísať aj nasledovne: 21·4=20·4+1·4=80+4=84 Vypočítajte …
Ak chceme sčítať napr. dve prirodzené čísla 35 a 40, tak v rovnosti 35 + 40 = 75 nazývame čísla 35, 40 sčítance a číslo 75 je ich súčet. sčítanec + sčítanec = súčet Príklad 1: Sčítajte dané prirodzené čísla: a) 25 + 13 = …… 13 + 25 = …… b) 16 + 12 …
Ako zaokrúhľujeme prirodzené čísla? Na túto otázku dostanete odpoveď v nasledujúcej tabuľke a súvisiacom príklade. Pri zaokrúhľovaní sa riadime vždy podľa číslice nižšieho rádu. Ak je číslica, ktorá rozhoduje ?5 zaokrúhlime nahor, ak je číslica, ktorá rozhoduje < 5 zaokrúhlime nadol. Pozrite si tabuľku! Ak zaokrúhľujeme na tak rozhodujú Napríklad číslo zaokrúhlime desiatky jednotky 135 …
Ako usporadúvame prirodzené čísla podľa veľkosti od najmenšieho po najväčšie (vzostupne) alebo od najväčšieho po najmenšie (zostupne) si ukážeme na jednoduchom príklade. Príklad: Usporiadajte vzostupne čísla 34, 2354, 12, 87, 234, 324, 543, 876, 24. Riešenie: Najskôr si dané čísla zoradíme pod seba tak, aby boli číslice rovnakého rádu nad sebou. Čiže jednotky nad jednotkami, …
Pamätáte si už, že z dvoch prirodzených čísel je menšie vždy to, ktoré je bližšie k začiatku číselnej osi? Pamätáte. A ak nie tak sa pozrite opäť na znázorňovanie čísel na číselnej osi (link). A ako zapíšeme skutočnosť, že napr. číslo 2 je menšie ako číslo 5 ? Takto: 2<5 Príklad 1: Janko má menej ako …
Ako môžeme graficky znázorniť prirodzené číslo bez toho, aby sme kreslili stromčeky, domčeky, jabĺčka, guličky, …? Jednoducho, pomocou číselnej osi. Pamätáte si, čo je číselná os? Ako znázorňujeme čísla na číselnej osi? Ak nie, tak si osviežime pamäť obrázkami: počítame po jednotkách počítame po desiatkach počítame po stovkách Pamätajte si: Bod, ktorý je obrazom menšieho …
Pokračovať v čítaní „Znázorňovanie prirodzených čísel na číselnej osi“
Prirodzené čísla množinu všetkých prirodzených čísel označujeme N; sú to čísla 1, 2, 3, 4, 5, …; je ich nekonečne veľa; Celé čísla množinu všetkých celých čísel označujeme Z; sú to čísla …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …; patria tam teda všetky prirodzené čísla, nula a všetky záporné celé čísla; pri zápise …
Variácia k-tej triedy z n prvkov množiny M, je každá usporiadaná k-prvková skupina zostavená iba z týchto n prvkov tak, že každý sa v nej nachádza najviac raz. Variácie k-tej triedy z n prvkov označujeme Vk(n) a vypočítame ich podľa nasledovného vzťahu: n! – čítame ako „n faktoriál“ n! = 1 . 2 . 3 … (n – 2) …
1. príklad: Andrea si môže obliecť jednu zo siedmych blúzok a jednu z piatich sukní. Koľko možných kombinácií blúzka – sukňa si môže obliecť? Riešenie: Ak označíme blúzky premennými a, b, c, d, e, f, g a sukne premennými o, p, q, r, s. Tak jednotlivé kombinácie blúzka – sukňa môžeme vytvoriť jednoduchým zápisom v tabuľke.
Diskriminant je polynóm, pomocou ktorého vieme vypočítať riešenie kvadratickej rovnice. Iba jednoduchým vypočítaním diskriminantu vieme určiť, či daná kvadratická rovnica má riešenie resp. koľko riešení má. Aby sme porozumeli výpočtu diskriminantu, je potrebné najskôr uviesť základný tvar kvadratickej rovnice: Diskriminant označujeme D a vypočítame nasledovne: Po dosadení koeficientov a, b, c môže diskriminat nadobúdať kladnú, zápornú alebo …
Uhly môžeme násobiť a deliť numericky alebo graficky. Poďme sa najskôr pozrieť na násobenie uhlov dvomi. Násobenie uhlov dvomi Numerické násobenie uhlov Násobiť dvomi môžeme tie uhly, ktorých veľkosť je menšia alebo rovná 180°. Násobíme jednoducho tak, že osobitne vynásobíme stupne a osobitne minúty, ak je výsledný počet minúť väčší ako 60, tak odpočítame 60 minút …
Aby sme mohli rysovať presne a efektívne, potrebujeme sa najskôr naučiť základné pravidlá rysovania. Samozrejme k základným pravidlám rysovania patrí i výber správnych pomôcok na rysovanie. Ktoré sú to? Predovšetkým starostlivo zastrúhané ceruzky. Čím tenší hrot má ceruzka, tým presnejšia čiara sa dá ňou narysovať. Ceruzky sa odlišujú predovšetkým svojou tvrdosťou.
Spomínate si na úlohu o roľníkovi v článku Vytvorenie predstavy o veľkých číslach? Prvý deň mal dať sedliak roľníkovi nájomné za pôdu 5 zrniek pšenice a každý ďalší deň dvojnásobok toho, čo v predošlý. Aké nájomné zaplatí sedliak napr. za 6 dní? Zapíšeme nasledovne: 5 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 …
Pokračovať v čítaní „Význam mocnín, čítanie a zapisovanie mocnín“
Často sa môžete stretnúť so slovnými úlohami (i v reálnom živote), pri riešením ktorých sa dostanete k riešeniu kvadratickej rovnice. Jednu si teraz vyriešime a ďalšie nájdete v časti neriešené úlohy. Príklad 1: Dĺžky strán pravouhlého trojuholníka ABC tvoria tri za sebou idúce prirodzené čísla. Určte obvod trojuholníka. Riešenie: Budeme predpokladať pravý uhol pri vrchole …
Pokračovať v čítaní „Slovné úlohy vedúce k riešeniu kvadratických rovníc“
Pravdepodobne ste si uvedomili, že pri načrtávaní grafu alebo určovaní vlastností kvadratickej funkcie sme zostávali (na Pohodovej matematike) pri určovaní priesečníka grafu kvadratickej funkcie s osou y, ale na priesečníky s osou x sme „akosi zabúdali“. A dôvod? Prozaický, pri určovaní priesečníkov paraboly so súradnicovou osou y potrebujeme vedieť riešiť kvadratickú rovnicu. Veď posúďte sami. …
Pokračovať v čítaní „Korene kvadratickej rovnice a graf kvadratickej funkcie“
V predchádzajúcich článkoch sme si ukázali spôsob riešenia kvadratických rovníc, kde chýbal lineárny alebo absolútny člen, prípadne riešenie kvadratickej rovnice v normovanom tvare s využitím Vietovych vzorcov. Čo ale v prípade, ak nemôžeme využiť ani jeden z predchádzajúcich spôsobov? V takom prípade o riešiteľnosti danej kvadratickej rovnice ax2 + bx + c = 0 – či daná rovnica má alebo nemá riešenie, …
Kvadratická rovnica v normovanom tvare je rovnica v tvare ax2 + bx + c = 0, kde a = 1. Ak je a≠1, tak celú rovnicu vydelíme číslom a. Získame tak rovnicu x2 + px + q = 0, kde p = b/a, q = c/a. Tento typ rovnice môžeme okrem „riešenia pomocou diskriminantu“ riešiť …
Pokračovať v čítaní „Riešenie kvadratickej rovnice v normovanom tvare“
Kvadratická rovnica bez linárneho člena – tzv. rýdzo kvadratická rovnica je rovnica v tvare ax2 + c = 0, kde a, c ∈ R – {0}. Tento typ rovnice riešime rozkladom na súčin v závislosti od konkrétnych hodnôt koeficientov a, c. Prečo? Najlepšie to pochopíte na príkladoch. Príklad 1: Riešte v množine R rovnicu: x2 …