Variácie bez opakovania

Variácia k-tej triedy z n prvkov množiny M, je každá usporiadaná k-prvková skupina zostavená iba z týchto n prvkov tak, že každý sa v nej nachádza najviac raz.

Variácie k-tej triedy z n prvkov označujeme Vk(n) a vypočítame ich podľa nasledovného vzťahu:

vzorec-variacie-bez-opakovania

n! – čítame ako „n faktoriál“
n! = 1 . 2 . 3 … (n – 2) . (n – 1) . n pre každé celé kladné číslo n

Pri rozhodovaní, či použijeme variácie bez opakovania si odpovedáme na nasledovné otázky:

  • Používame všetky prvky súčasne? Nie.
  • Záleží na poradí prvkov? Áno.
  • Môžu sa prvky v danej k-tici opakovať? Nie.

Pri výpočte variácií efektívne využívame krátenie faktoriálov, ktoré si ukážeme na konkrétnych príkladoch.

1. príklad:

V škole sa vyučuje 12 predmetov. Koľkými spôsobmi je možné zostaviť rozvrh hodín na pondelok, ak vieme, že žiaci majú mať 6 hodín?

Riešenie:

Je zrejmé, že budeme z celkového počtu 12 prvkov vyberať 6 prvkov. Keďže nepoužijeme všetky prvky súčasne, záleží nám na poradí vyučovacích hodín a každá vyučovacia hodina môže byť v daný deň v rozvrhu iba raz, vieme, že použijeme variácie bez opakovania.

n = 12
k = 6
V6(12)  = ?

Pri výpočte rozložíme 12! tak, aby sme mohli neskôr krátiť 6!.

variacie-bez-opakovania-6-triedy-z-12-prvkov

2. príklad:

Na turnaji v halovom futbale sa zúčastnilo 5 tímov. Koľko zápasov hrali v 1. kole, ak hral každý s každým? (vždy sa hral aj odvetný zápas)

Riešenie:

Z celkového počtu 5 tímov budeme vyberať 2, lebo zápas hrajú práve 2 tímy. Tzn. nepoužijeme všetky prvky súčasne. Keďže sa hrajú aj odvetné zápasy, záleží nám na poradí prvkov (tímov) v danej vybranej dvojici. Každý tím sa vo vybranej dvojici vyskytuje iba raz. Na základe uvedeného vieme, že použijeme variácie bez opakovania.

n = 6
k = 2
V2(6)  = ?

Pri výpočte rozložíme 6! tak, aby sme mohli krátiť 4!.

variacie-bez-opakovania-2-triedy-z-6-prvkov

 3. príklad:

Koľko je daných prvkov, ak z nich utvorených variácií druhej triedy bez opakovania je 5-krát menej ako variácií tretej triedy bez opakovania?

Riešenie:

Zo zadania si vytvoríme rovnicu:

variácií 2. triedy z n prvkov bez opak. je 5-krát menej ako variácií 3. triedy z n prvkov

V2(n) = V3(n) : 5  

Danú rovnicu vyriešime.

variacie-2-z-n-rovna-sa-variacie-3-z-n-deleno-5

n1 = 0; n2 = 7;

Hľadaný počet prvkov je 7.

Rudolf Zrebný

Som obyčajný človek, ktorý má rád matematiku. Aj to je dôvod, prečo som sa stal učiteľom matematiky a vo voľných chvíľach pracujem na webe pohodovamatematika.sk. Časť voľného času venujem tvorbe webových stránok a bicyklovaniu v prírode. Inak sa snažím väčšinu dňa prežiť s mojou krásnou rodinkou.