Zdroj zadaní príkladov: NIVAM – Národný inštitút vzdelávania a mládeže. https://www2.nucem.sk/dl/5874/ZAK23008_S_TZ-RT-Mat-SJ-fA_1000.pdf Autor riešenia príkladov je Ing. Rudolf Zrebný. Za správnosť riešenia, postupu nenesie zodpovednosť NIVAM, ale autor riešenia.
Monitor 2024 matematika
1. príklad
Zadanie:
Zásoba uhlia na vykurovanie 15 domácností vystačí na 60 dní. Na koľko dní vystačí rovnaká zásoba uhlia, ak sa pripojí k vykurovaniu ešte päť domácností? Predpokladáme, že všetky domácnosti majú rovnakú spotrebu.
Riešenie:
Zápis:
15 domácností …… 60 dní
15+5=20 domácností … x dní
20 ⋅ x = 15 ⋅ 60
20x = 900 /:20
x = 45
Odpoveď: 45
2. príklad
Zadanie:
Peter si kúpil akcie zahraničnej firmy v celkovej sume 3 000 €. Dnes je ich hodnota o 50 % nižšia. O koľko percent musí od dnes stúpnuť cena týchto akcií, aby sa ich celková hodnota dostala opäť na pôvodných 3 000 €?
Riešenie:
dnes …….. 50% z 3000 = 0,5 ⋅ 3000 = 1500 € = základ, čiže 100%
keďže sa pýtame, o koľko percent od dnes musí stúpnuť cena akcií, aby sa dostali na hodnotu 3000 €, tak budúcich 3000 € bude pôvodných 100% + pridaných x%
100% …….. 1500 €
(100+x)% …. 3000 €
Použijeme krížové pravidlo:
100 ⋅ 3000 = (100+x) ⋅ 1500
300 000 = 150 000 + 1500x /-150 000
150 000 = 1500x /:1500
100% = x
Odpoveď: 100
3. príklad
Zadanie:
Deviataci riešili rovnicu: 0,1 ∙(8x + 3) = 0,5x – 0,6
V triede sa vyskytlo 5 rôznych výsledkov, korene: –1; –3; –0,3; –12 a „rovnica nemá riešenie“. Ich percentuálne zastúpenie je znázornené v kruhovom diagrame. Vyrieš rovnicu a pomocou diagramu zisti, koľko percent žiakov nemalo správny výsledok.
Riešenie:
Najskôr vyriešime rovnicu:
0,1 ∙(8x + 3) = 0,5x – 0,60,8x + 0,3 = 0,5x – 0,6 / -0,5x – 0,3
0,3x = -0,9 / :0,3
x = -3
Z grafu je zrejmé, že 20% žiakov malo správny výsledok.
Odpoveď: 80
4. príklad
Zadanie:
Na tanieri je 12 buchtičiek, z toho 5 makových a 7 lekvárových. Koľko tvarohových buchtičiek k nim treba pridať, aby pravdepodobnosť, že náhodne vybraná buchtička bude maková, bola 20 %?
Riešenie:
Pravdepodobnosť vypočítame ako „počet priaznivých / počet všetkých“.
V našom prípade:
pravdepodobnosť …………………………20% = 0,2
počet priaznivých je počet makových buchtičiek … 5
počet všetkých možností …………………….. 12 + x, kde x je počet pridaných buchtičiek
Zostavíme rovnicu:
Pravdepodobnosť = počet priaznivých / počet všetkých
0,2 = 5 / (12+x) /⋅(12+x)
0,2 ⋅ (12+x) = 5
2,4 + 0,2 x = 5 / – 2,4
0,2x = 2,6 / :0,2
x = 13
Odpoveď: 13
5. príklad
Zadanie:
Ak z obdĺžnika so stranami dlhými 8 cm a 6 cm odstrihneme štyri zhodné trojuholníky tak, ako je znázornené na obrázku, dostaneme kosoštvorec. Koľko centimetrov meria obvod tohto kosoštvorca?
Riešenie:
Keď sa pozorne pozrieme na obrázok, tak v ňom určite zbadáme pravouhlý trojuholník, kde strana a, ktorú potrebujeme pre výpočet obvodu kosoštvorca je preponou tohto trojuholníka. Dĺžku odvesien vypočítame ľahko ako polovicu strán obdĺžnika.
Použitím Pytagorovej vety vypočítame dĺžku strany a:
a² = 4² + 3²
a² = 16 + 9
a² = 25
a = 5 cm
Obvod kosoštvorca vypočítame:
o = 4 · a
o = 4 · 5
o = 20 cm
Odpoveď: 20
6. príklad
Zadanie:
Na obrázku je znázornený rovnoramenný lichobežník ABCD. Vypočítaj veľkosť uhla δ. Výsledok uveď v stupňoch.
Riešenie:
Uhol vyznačený na obrázku nižšie je susedný k uhlu 120°, preto jeho veľkosť vypočítame ako 180°- 120° = 60°
Keďže ide o rovnoramenný lichobežník, tak súčet uhla vyznačeného zelenou farbou a uhla 25°je tiež 60°. Čiže uhol vyznačený zelenou vypočítame: 60°- 25° = 35°
„zelený uhol“. „červený uhol“ a hľadaný uhol δ sú vnútornými uhlami trojuholníka, ich súčet je 180°. Hľadaný uhol δ teda vypočítame nasledovne:
δ = 180°- 60°- 35°= 85°
Odpoveď: 85
7. príklad
Zadanie:
Na obrázku je znázornená sieť štvorbokého hranola s podstavou v tvare kosodĺžnika, ktorého strany majú dĺžku 30 cm a 20 cm. Vypočítaj objem tohto hranola. Výsledok uveď v kubických decimetroch.
Riešenie:
Objem hranola vypočítame ako súčin obsahu podstavy a výšky hranola.
V = Sp ⋅ v
– podstava je kosodĺžnik so stranou 30 cm a výškou 16 cm
– výška hranola je 30 cm
Potom:
V = Sp ⋅ v
V = a ⋅ va ⋅ v
V = 30 ⋅ 16 ⋅ 30
V = 14 400 cm2
výsledok je potrebné uviesť v dm²
14 400 cm² = 14,4 dm²
Odpoveď: 14,4
8. príklad
Zadanie:
Pavlína išla s rodičmi na zber jahôd. Hmotnosť debničky, do ktorej zbierali jahody, bola 550 g. Po ukončení zberu mala debnička spolu s jahodami hmotnosť 4,8 kg. Kilogram nazbieraných jahôd stál 2,80 €. Koľko eur zaplatili za nazbierané jahody bez debničky? Výsledok uveď s presnosťou na desatiny.
Riešenie:
D = 550 g = 0,55 kg
D + J …. 4,8 kg
0,55 + J = 4,8 /-0,55
J = 4,8 – 0,55 = 4,25 kg
1 kg …. 2,80 €
4,25 kg … 4,25 ⋅ 2,8 = 11,90 €
Odpoveď: 11,9
9. príklad
Zadanie:
Mierka mapy je 1 : 50 000. Koľko kilometrov v skutočnosti meria trasa, ktorá má na tejto mape dĺžku 8 cm?
Riešenie:
mapa : skutočnosť = 1 : 50 000 = 8 : x
x = 50 000 ⋅ 8 = 400 000 cm = 4 km
Odpoveď: 4
10. príklad
Zadanie:
Hracia plocha šachovnice má 8 x 8 hracích polí. Koľko percent hracích polí je obsadených figúrkami na začiatku šachovej partie, ak obaja šachisti obsadia svojimi figúrkami dva rady?
Riešenie:
2 rady bielych … 2 ⋅ 8 = 16
2 rady čiernych … 16
obsadených polí … 16+16=32
všetkých polí … 8⋅8=64
Pravdepodobnosť = priaznivé / všetky
P = 32 / 64 = 0,5 = 50%
Odpoveď: 50
11. príklad
Zadanie:
Žiaci istej školy nosia rovnošatu: čierne nohavice a farebné tričko. Farba trička môže byť modrá, zelená, fialová, oranžová alebo tyrkysová. Tričko môže byť buď farebné bez pásikov, alebo farebné s tromi bielymi alebo s tromi čiernymi pásikmi. Koľko tried najviac môže byť v škole, ak žiaci jednej triedy majú rovnaké tričká a žiaci rôznych tried majú rôzne tričká?
Riešenie:
V jeden deň:
tričká bez pásika …. 5 tried (lebo 5 farieb a žiaci v jednej triede musia mať rovnakú farbu)
tričká s 1 pásikom …. 5 tried (lebo 5 farieb a žiaci v jednej triede musia mať rovnakú farbu)
tričká s 2 pásikmi …. 5 tried (lebo 5 farieb a žiaci v jednej triede musia mať rovnakú farbu)
Spolu …. 5 + 5 + 5 = 15 tried
Odpoveď: 15
12. príklad
Zadanie:
Igor premieňal jednotky obsahu a objemu.
Správne doplnil všetky chýbajúce čísla a zistil, že okrem jedného príkladu doplnil vždy to isté číslo. Uveď číslo, ktoré sa líšilo od ostatných.
Riešenie:
Najskôr premeníme jednotky:
14 000 m² = 1,4 ha
140 ml = 1,4 dl
140 cm³ = 0,14 dm³
1400 l = 1,4 m³
Odpoveď: 0,14
13. príklad
Zadanie:
Jeden diel stavebnice v tvare kvádra má rozmery 3 dm, 2 dm a 1 dm. Deti postavili z týchto dielov v rohu miestnosti stavbu znázornenú na obrázku. Koľko dielov použili?.
Riešenie:
Najskôr vypočítame objem 1 dielu stavebnice:
V = 2 ⋅ 1 ⋅ 3 = 6 dm³
Stavba pozostáva z 3 stĺpcov, takže si potrebujeme vypočítať objem každého stĺpca a následne podielom objemu stĺpca a objemu 1 dielu zistíme počet dielov použitých na daný stĺpec stavby.
V1 = 2 ⋅ 4 ⋅ 6 = 48 dm³ …. 48 : 6 = 8 dielov
V2 = 4 ⋅ 2 ⋅ 6 = 48 dm³ …. 48 : 6 = 8 dielov
V3 = 2 ⋅ 4 ⋅ 9 = 72 dm³ …. 72 : 6 = 12 dielov
spolu diuelov … 8 + 8 + 12 = 28
Odpoveď: 28
14. príklad
Zadanie:
V istom meste ukončilo športové gymnázium spolu 120 hokejistov, ktorí sa po ukončení štúdia profesionálne venovali hokeju. Aritmetický priemer ich mesačných platov vo veku 21 rokov bol 2 700 eur. Najvyšší príjem 200 000 eur mesačne mal hokejista, ktorý uspel v zahraničí. Vypočítaj priemerný mesačný plat ostatných hokejistov. Výsledok zaokrúhli na celé eurá.
Riešenie:
Priemerný plat všetkých hokejistov = súčet platov : počet platov (hokejistov)
2 700 = súčet platov : 120
súčet platov = 2 700 ⋅ 120 = 324 000
odpočítame plat hokejistu s najvyšším príjmom … 324 000 – 200 000 = 124 000
a vypočítame priemerný plat zostávajúcich hokejistov … 124 000 : 119 = 1 042,02 zaokr. 1 042 €
Odpoveď: 1 042
Na zadanie Spoločenské tance sa vzťahujú úlohy 15 a 16
15. príklad
Zadanie:
Na základe informácií z diagramu zisti počet respondentov, ktorí uviedli, že tango vedia tancovať čiastočne.
Riešenie:
na základe údajov z grafu … tango … čiastočne 38%
1000 resp. …. 100%
x resp. …. 38%
100⋅x = 38⋅1000
100x = 38000 …… /:100
x = 380
Odpoveď: 380
16. príklad
Zadanie:
Na základe údajov uvedených v diagrame rozhodni, ktoré z uvedených tvrdení je nepravdivé.
A: Čaču vie tancovať čiastočne 29 % opýtaných.
B: Štvrtina opýtaných uviedla, že nevie vôbec tancovať.
C: Viac ako 75 % opýtaných vie tancovať valčík čiastočne alebo výborne.
D: Džajv vie tancovať výborne alebo čiastočne viac ako štvrtina opýtaných.
Riešenie:
A: pravdivé
B: štvrtina = 25% … pravdivé
C: valčík čiastočne 41%, výborne 29%, spolu 70%, čo nie je viac ako 75%, preto nepravdivé
Odpoveď: C
17. príklad
Zadanie:
Koľko stromov môžu poliať z nádoby, v ktorej je 1 m³ vody, ak na poliatie jedného stromu potrebujú 10 litrov vody? O strate vody pri polievaní neuvažujeme.
určite
A: 10 000
B: 1 000
C: 100
D: 10
Riešenie:
1 m³ = 1 000 dm³
poliatie 1 stromu …. 10 l = 10 dm³
počet poliatych stromov … 1 000 : 10 = 100 … C
Odpoveď: C
18. príklad
Zadanie:
Keďže slnečné žiarenie poškodzuje plasty, nádoby sa zakrývajú plachtami, ktoré chránia bočné steny a hornú podstavu nádoby. Pomocou rozmerov uvedených na obrázku vypočítaj plochu plachty, ktorá zakrýva nádobu.
A: 4,4 m²
B: 5,6 m²
C: 5,8 m²
D: 6,8 m²
Riešenie:
obsah hornej podstavy … Sp = 120 ⋅ 100 = 12 000 cm²
obsah plášťa … Spl = obvod podstavy ⋅ výška = 2⋅(120 + 100) ⋅ 100 = 440 ⋅ 100 = 44 000 cm²
S = Sp + Spl = 12 000 + 44 000 = 56 000 cm² = 5,6 m²
Odpoveď: B
19. príklad
Zadanie:
Dopravná značka Chodník pre chodcov má tvar kruhu s priemerom 7 dm. Približne koľko decimetrov štvorcových plechu je potrebných na jej zhotovenie? Počítaj s hodnotou π = 3,14.
A: 22,0 dm² B: 38,5 dm² C: 44,0 dm² D: 154 dm²
Riešenie:
S = π ⋅ r²
priemer d = 7 dm ⇒ r = 7:2 = 3,5 dm
S = 3,14 ⋅ 3,5² = 3,14 ⋅ 12,25 = 38,465 dm² … zaokr. 38,5 dm², teda správna odpoveď je B
Odpoveď: B
20. príklad
Zadanie:
Oliver sledoval v sobotu v televízii historický dokument, ktorý trval 90 minút, v nedeľu si pozrel detektívny film dlhý 120 minút a počas pracovných dní si pozrel šesť častí fantasy seriálu, pričom každá časť mala 30 minút. V ktorej možnosti diagram zobrazuje správne rozdelenie minút medzi jednotlivými televíznymi žánrami, ktoré Oliver sledoval v televízii?
Riešenie:
dokument … 90 min. (najmenej)
detektívny film … 120 min.
6 častí fantasy seriálu po 30 min. = 6 ⋅ 30 = 180 min. (najviac)
spolu … 90 + 120 + 180 = 390 min.
A a C vylúčime, lebo seriál má mať najväčší podiel a v týchto grafoch má najväčší podiel dokument
B vylúčime tiež, lebo najmenší podiel má mať dokument, ale na grafe B má najmenší podiel film
D je správne … dokument najmenší podiel a seriál najväčší
Odpoveď: D
21. príklad
Zadanie:
Ktoré z uvedených čísel je väčšie ako 1 milión a zároveň menšie ako 10 miliónov?
A: 2 ⋅ 107
B: 4 ⋅ 106
C: 6 ⋅ 105
D: 8 ⋅ 104
Riešenie:
A: 2 ⋅ 107 = 20 000 000 …. > 10 000 000 … nevyhovuje
B: 4 ⋅ 106 = 4 000 000 … vyhovuje lebo < 1 000 000 a zároveň > 10 000 000
C: 6 ⋅ 105 = 600 000 …. < 1 000 000 ... nevyhovuje
D: 8 ⋅ 104 = 80 000 …. < 1 000 000 ... nevyhovuje
Odpoveď: B
22. príklad
Zadanie:
Ktorý z výrazov M = 3x + 7, N = –x + 4, O = 2x – 8, P = –6x + 5 sa rovná súčtu ostatných troch výrazov?
A: M = 3x + 7
B: N = –x + 4
C: O = 2x – 8
D: P = –6x + 5
Riešenie:
Overíme jednotlivé možnosti:
A: M = 3x + 7 … M = N + O + P = -x+4 + 2x-8 + -6x+5 = -5x + 1 ≠ 3x+7
B: N = –x + 4 … N = 3x+7 + 2x-8 + -6x+5 = -x + 4 vyhovuje, teda rovná sa výrazu N
a ďalšie už overovať nemusíme
Odpoveď: B
23. príklad
Zadanie:
Ktorou číslicou treba nahradiť *, aby bolo číslo 76*0 deliteľné dvomi, tromi, štyrmi a piatimi bezo zvyšku?
A: 4
B: 5
C: 6
D: 8
Riešenie:
7 6 _ 0
keďže na mieste jednotiek je 0, číslo je deliteľné dvomi a piatimi
aby bolo deliteľné štyrmi, musí byť posledné dvojčíslie deliteľné štyrmi … vyhovujú 40, 60, 80, ale 50 už nie, preto možnosť B je nespr.
aby bolo deliteľné tromi, tak ciferný súčet musí byť deliteľný tromi … 7+6+4+0=17 nie je del. 3, tak A=4 nevyhovuje
7+6+6+0=19 nie je del. 3, tak C=6 nevyhovuje
7+6+8+0=21 je delit. tromi, preto vyhovuje možnosť D a číslo 7680 je deliteľné dvomi, tromi, štyrmi a piatimi bezo zvyšku
Odpoveď: D
24. príklad
Zadanie:
Vrchol kocky je bod, ktorý je spoločným bodom troch stien kocky. Kocka na obrázku má zvýraznený jeden z vrcholov. V ktorej možnosti je znázornená sieť tejto kocky?
Riešenie:
Na obrázku nižšie je naznačené postupné skladanie kocky. Červenými krúžkami sú vyznačené vrcholy, ktoré sa „nestretnú“ a zelenými tie, ktoré sa prekryjú. Je zrejmé, že správna je možnosť D.
Odpoveď: D
25. príklad
Zadanie:
Súrodenci Lea a Tomáš sa rozprávajú o svojich úsporách:
Lea: Ak by som mala o štvrtinu eur viac ako teraz, mala by som toľko ako ty.
Tomáš: Ak by som ja mal o pätinu eur menej ako teraz, mal by som toľko ako ty.
Ktorá z nasledujúcich možností je na základe ich tvrdení pravdivá?
A: Lea má teraz 400 eur a Tomáš 500 eur
B: Lea má teraz 400 eur a Tomáš 480 eur
C: Lea má teraz 480 eur a Tomáš 400 eur
D: Lea má teraz 500 eur a Tomáš 400 eur
Riešenie:
overili sme správnosť možnosti A, v overení ostatných nemusíme pokračovať
Odpoveď: A
26. príklad
Zadanie:
Stará mama pečie palacinky podľa tohto receptu:
Riešenie:
olej : voda : mlieko = 0,5 dl : 2 dl : 3 dl …. /⋅2
1 dl : 4 dl : 6 dl = 1 : 4 : 6, teda možnosť A je správna
Odpoveď: A
27. príklad
Zadanie:
Tabuľka uvádza vybrané druhy mlieka a ich zloženie.
Riešenie:
Overíme tvrdenie T1:
100 g kozieho mlieka obsahuje podľa tabuľky 4,2 g tuku … 500 g obsahuje 5⋅4,2 = 21 g tuku … tvrdenie T1 je pravdivé.
Overíme tvrdenie T2:
ovčie mlieko … 5,2 g bielkovín
kravské mlieko … 3,2 g bielkovín
5,2 : 3,2 ≠ 2, čiže nie je dvojnás. množstvo bielk., takže tvrdenie je nepravdivé
Správna je možnosť B.
Odpoveď: B
28. príklad
Zadanie:
Graf zobrazuje výsledky 12 súťažiacich v dvoch atletických disciplínach: v hode kriketovou loptičkou a v behu na 60 m. Deti sa kvalifikovali prekročením stanoveného limitu.
Riešenie:
Overíme tvrdenia:
· Lucia splnila limit v behu na 60 m. nesplnila, nachádza sa vľavo od vyznač. limitu
V behu na 60 m skončil na treťom mieste Ivan. pravdivý
Miloš bol v oboch disciplínach lepší ako Peter.nepravdivý, Peter bol lepší v behu
Sára porazila Júliu v hode kriketovou loptičkou. pravdivý, Sára dokonca splnila limit
Len 4 deťom sa podarilo kvalifikovať v oboch disciplínach. pravdivý, kvalifikovali sa Sára, Miloš, Zuzana, Mária
Pravdivé sú 3 tvrdenia, možnosť C
Odpoveď: C
29. príklad
Zadanie:
O koľko eur stúpla priemerná cena bytu s rozlohou 55 m v roku 2021 oproti roku 2020 v kraji s najnižšou priemernou cenou bytov za jeden meter štvorcový?
A: 12 155 B: 13 365 C: 14 585 D: 15 735
Riešenie:
V roku 2020 bola najnižšia priem. cena za byt v NR kraji.
v roku 2021 … 1 172
rozdiel … 1 172 – 951 = 221 € / 1 m²
55 m² … 55 ⋅ 221 = 12 155 €, čiže správna je možnosť A
Odpoveď: A
30. príklad
Zadanie:
V ktorom z uvedených štyroch krajov stúpla priemerná cena bytov za 1 m² v roku 2021 oproti roku 2020 o viac ako 39%?
A: v Bratislavskom(BA)
B: v Žilinskom (ZA)
C: v Banskobystrickom (BB)
D: v Trenčianskom (TN)
Riešenie:
postupne vypočítame percent. zmenu:
A: v Bratislavskom(BA) … (2826 : 2333) ⋅ 100 = 21,13%
B: v Trenčianskom (TN) … (1297 : 1054) ⋅ 100 = 23,06%
C: v Žilinskom (ZA) … (1657 : 1312) ⋅ 100 = 26,30%
D: v Banskobystrickom (BB) … (1379 : 989) ⋅ 100 = 39,43%
viac ako 39% je to v prípade možnosti D