Racionálne čísla

Rovnosť zlomkov Dva zlomky a/b a  b/d, kde b ≠ 0, d ≠ 0, sa rovnajú práve vtedy, keď ad = bd. Rozširovanie zlomkov Zlomok rozšírime nenulovým číslom c tak, že číslom c násobíme čitateľa i menovateľa daného zlomku. kde b ≠ 0, c ≠ 0. Krátenie zlomkov Zlomok krátime nenulovým číslom d tak, že číslom c delíme čitateľa …

Porovnávanie a usporiadanie desatinných čísel

Porovnávanie a usporadúvanie desatinných čísel bude najlepšie ukázať na niekoľkých riešených príkladoch a následne sa môžete presunúť do časti neriešených príkladov, kde si získané poznatky precvičíte. Porovnanie dvoch desatinných čísel Príklad 1: Ktoré z čísel 234,5645 a 234,54659 je väčšie? Riešenie: Pri porovnávaní dvoch desatinných čísel je najjednoduchšie podpísať desatinné čísla pod seba tak, aby …

Usporiadanie celých čísel

Ukážeme si usporiadanie záporných čísel od najmenšieho po najväčšie, čiže vzostupne, na jednoduchom príklade. Príklad 1: Usporiadajte vzostupne dané záporné čísla: Riešenie: Zapíšeme si dané čísla bez „-“ a usporiadame ich ako prirodzené čísla od najmenšieho po najväčšie, tak ako je to vysvetlené v článku …

Porovnávanie celých čísel

Porovnávať prirodzené čísla ste sa naučili v článku Porovnávanie prirodzených čísel. Teraz si ukážeme ako porovnávame celé čísla. Porovnávanie dvoch záporných čísel Pozrite sa na nasledovné vyobrazené stupnice teplomera. Nižšia teplota je v prípade A alebo v prípade B? Určite by ste povedali, že nižšia teplota je v prípade B. Jeden dielik na stupnici zodpovedá …

Opačné čísla

Ku každému celému kladnému číslu je priradené celé záporné číslo. Samozrejme to platí i naopak. Napríklad k číslu 56 je priradené číslo -56, ktoré nazývame opačné číslo k číslu 56. Alebo k číslu -7 je priradené opačné číslo 7. Príklad 1: K číslam 6; 78; -5; 40; -12 napíšte opačné čísla. Riešenie: Číslo Opačné číslo …

Negácie kvantifikovaných výrokov

Naučíte sa negovať kvantifikované výroky a robiť negácie výrokov s údajom o počte.
Negáciu kvantifikovaného výroku častejšie formulujeme tak, že zmeníme kvantifikátor: napr. negácia výroku „Pre každý … platí, že je …“ je výrok „Existuje … , ktorý nie je …“

Čítanie a zapisovanie celých čísel

Ako čítame a zapisujeme prirodzené čísla ste sa dozvedeli v článku Čítanie a zapisovanie prirodzených čísel. Keďže prirodzené čísla sú časťou celých čísel, tak teraz si ukážeme iba to ako sa zapisujú a čítajú záporné celé čísla. Napr. -708 … vidíte, že v zápise záporného čísla je jediným rozdielom „znamienko mínus“. Preto toto číslo najčastejšie …

Potrebujeme celé čísla?

Ak by sme mali odčítať od menšieho prirodzeného čísla väčšie, tak nedokážeme určiť rozdiel v množine prirodzených čísel. Aby sme tento rozdiel dokázali určiť, potrebujeme zaviesť záporné čísla, ktoré sú opačné k tzv. kladným číslam. Niekto by povedal: „Veď je to nezmysel. Ak má niekto 5 jabĺk, ako mu môžem zobrať 8 jabĺk?“ Ja sa …

Počítanie po desaťtisícoch, tisícoch, stovkách

Janko je typický piatak, ktorý žije možno i medzi vami a asi sa budete niektorí čudovať, ale k jeho záľubám patrí matematika. Akoby som vás počul: „To určite, veď koho by matika bavila?!“ Ak budete pozorne sledovať jeho kroky a občas mu pomôžete vyriešiť zaujímavé úlohy, snáď sa stane matematika i vašim koníčkom. A ak …

Zapisovanie množiny reálnych čísel pomocou intervalov

V článku Množina a jej určenie, konečná a nekonečná množina sme si hovorili o dvoch možnostiach zápisu množín – vymenovaním prvkov alebo určením charakteristických vlastností prvkov. Pozrime sa teraz spoločne na nasledovné dve zadania: Príklad 1: Dané sú dve množiny: A = {x∈N; 2<x<7}, B = {x∈R; 2<x<7}. Zapíšte tieto množiny vymenovaním prvkov. Riešenie: Množinu A viete určite všetci zapísať vymenovaním …

Výroková formula

Výrokové premenné sú symboly výrokov, ktoré vyjadrujeme malými písmenami p, q, r, ….Výrokovou formulou nazývame zápis, ktorý obsahuje výrokové premenné, logické spojky a zátvorky tak, že po dosadení ľubovolných výrokov za výrokové premenné dostaneme výrok .Pomocou tabuľky môžeme zistiť, pre ktoré pravdivostné hodnoty výrokových premenných vznikne pravdivý alebo nepravdivý výrok.Napr.: Ak chce vodič odbočiť, tak …

Rozširovanie a krátenie zlomkov, úprava zlomkov na základný tvar.

Pri vysvetľovaní delenia dvoch prirodzených čísel sme sa dozvedeli, že výsledok – podiel sa nezmení, ak delenca i deliteľa vynásobíme tým istým číslom rôznym od nuly. Teda 4:5 = 8:10 = 40:50 = … Keďže zlomok je „len“ iný zápis delenia, tak to isté platí i pri zlomkoch. Hovoríme o tzv. rozširovaní zlomku. Teda , …

Čo je zlomok? Čítanie a zapisovanie zlomkov.

O delení dvoch prirodzených čísel hovoríme napr. pri téme Delenie prirodzených čísel bez zvyšku a vieme, že napríklad podiel čísel 6 a 4 zapíšeme 6:4. Inú formu zápisu delenia predstavuje zlomok. Potom podiel 2:3 zapíšeme (čítame dve tretiny). Tento zlomok i každý iný zapisujeme dvojicou prirodzených čísel, ktoré navzájom oddelíme zlomkovou čiarou. Číslo nad zlomkovou …

Grafické znázornenie množín, dôkazy množinových rovností

Na názornú predstavu množín, množinových vzťahov a operácií medzi množinami sa používajú ich grafické znázornenia v rovine, tzv. množinové diagramy. Základná množina Z sa znázorňuje spravidla obdĺžnikom a jej podmnožiny A, B, … ako kruhy alebo iné zvyčajne oválne obrazce vnútri obdĺžnika. Tieto grafické znázornenia sa nazývajú Vennove diagramy.K znázorneniu množín reálnych čísel sa zvyčajne …

Zložené výroky

Zložené výroky vytvárame z jednoduchých výrokov použitím výrokových (logických) operácií pomocou logických spojok: ∧, ∨, ⇒, ⇔ Pojmy logické operácie a logické spojky sú často stotožňované. My si teraz predstavíme najdôležitejšie z nich. Výrokové operácie: a) disjunkcia (alternatíva) Označenie: ∨ (čítame „alebo“) p: Zajtra je sobota. q: Mám 15 rokov. p ∨ q: Zajtra je …