vysvetlenie učiva, príklady, testy, materiály pre žiakov i učiteľov
Diskriminant je polynóm, pomocou ktorého vieme vypočítať riešenie kvadratickej rovnice. Iba jednoduchým vypočítaním diskriminantu vieme určiť, či daná kvadratická rovnica má riešenie resp. koľko riešení má. Aby sme porozumeli výpočtu diskriminantu, je potrebné najskôr uviesť základný tvar kvadratickej rovnice: Diskriminant označujeme D a vypočítame nasledovne: Po dosadení koeficientov a, b, c môže diskriminat nadobúdať kladnú, zápornú alebo …
Často sa môžete stretnúť so slovnými úlohami (i v reálnom živote), pri riešením ktorých sa dostanete k riešeniu kvadratickej rovnice. Jednu si teraz vyriešime a ďalšie nájdete v časti neriešené úlohy. Príklad 1: Dĺžky strán pravouhlého trojuholníka ABC tvoria tri za sebou idúce prirodzené čísla. Určte obvod trojuholníka. Riešenie: Budeme predpokladať pravý uhol pri vrchole …
Pokračovať v čítaní „Slovné úlohy vedúce k riešeniu kvadratických rovníc“
Pravdepodobne ste si uvedomili, že pri načrtávaní grafu alebo určovaní vlastností kvadratickej funkcie sme zostávali (na Pohodovej matematike) pri určovaní priesečníka grafu kvadratickej funkcie s osou y, ale na priesečníky s osou x sme „akosi zabúdali“. A dôvod? Prozaický, pri určovaní priesečníkov paraboly so súradnicovou osou y potrebujeme vedieť riešiť kvadratickú rovnicu. Veď posúďte sami. …
Pokračovať v čítaní „Korene kvadratickej rovnice a graf kvadratickej funkcie“
V predchádzajúcich článkoch sme si ukázali spôsob riešenia kvadratických rovníc, kde chýbal lineárny alebo absolútny člen, prípadne riešenie kvadratickej rovnice v normovanom tvare s využitím Vietovych vzorcov. Čo ale v prípade, ak nemôžeme využiť ani jeden z predchádzajúcich spôsobov? V takom prípade o riešiteľnosti danej kvadratickej rovnice ax2 + bx + c = 0 – či daná rovnica má alebo nemá riešenie, …
Kvadratická rovnica v normovanom tvare je rovnica v tvare ax2 + bx + c = 0, kde a = 1. Ak je a≠1, tak celú rovnicu vydelíme číslom a. Získame tak rovnicu x2 + px + q = 0, kde p = b/a, q = c/a. Tento typ rovnice môžeme okrem „riešenia pomocou diskriminantu“ riešiť …
Pokračovať v čítaní „Riešenie kvadratickej rovnice v normovanom tvare“
Kvadratická rovnica bez linárneho člena – tzv. rýdzo kvadratická rovnica je rovnica v tvare ax2 + c = 0, kde a, c ∈ R – {0}. Tento typ rovnice riešime rozkladom na súčin v závislosti od konkrétnych hodnôt koeficientov a, c. Prečo? Najlepšie to pochopíte na príkladoch. Príklad 1: Riešte v množine R rovnicu: x2 …
Kvadratická rovnica bez absolútneho člena je rovnica v tvare ax2 + bx = 0, kde a, b ∈ R – {0}. Tento typ rovnice riešime rozkladom na súčin – konkrétne vynímaním x pred zátvorku. Ak by sme chceli riešiť rovnicu všeobecne, postupovali by sme nasledovne: ax2 + bx = 0 x · (ax + b) …
Pokračovať v čítaní „Kvadratická rovnica bez absolútneho člena“
Kvadratická rovnica bez lineárneho a absolútneho člena je rovnica v tvare ax2 = 0, kde a ≠ 0. Riešenie tejto rovnice by nemalo robiť problém nikomu, ale ak by predsa … Ak by sme použili ekvivalentnú úpravu – delenie oboch strán rovnice reálnym číslom rôznym od nuly, a my predpokladáme, že koeficient a≠0, tak by …
Pokračovať v čítaní „Kvadratická rovnica bez lineárneho a absolútneho člena“
Funkciu f nazývame periodická funkcia práve vtedy, keď existuje také reálne číslo p≠0, že pre každé x ∈ D(f) je aj x ± p ∈ D(f) a platí: f(x ± p) = f(x) Číslo p nazývame perióda funkcie f. Vo fyzike sa perióda označuje T. Ak má daná funkcia f periódu p, ľahko dokážeme, že pre každé celé číslo k platí: …
Nech pre funkcie f s definičným oborom D(f)) platí: x ∈ D(f) a zároveň –x ∈ D(f) V takom prípade rozlišujeme dva významné typy funkcií: párnu funkciu a nepárnu funkciu. Párna funkcia: Funkciu f nazývame párnou práve vtedy, keď pre každé x∈D(f) platí: f(-x) = f(x) Príklad 1: Ktoré z daných funkcií sú párne? f: …
O dvoch funkciách f a g hovoríme, že sú si rovné práve vtedy, keď definičný obor funkcie f a definičný obor funkcie g sú tie isté množiny a pre každé x∈D(f) platí: f(x)=g(x). Rovnosť dvoch funkcií f a g zapisujeme: f = g O funkciách, ktoré nie sú si rovné hovoríme, že sú rôzne a …
Pri niektorých funkciách môžeme hovoriť, že majú určité spoločné vlastnosti a podľa týchto vlastností ich aj nazývame. Na základe týchto vlastností teda hovoríme o párnych a nepárnych funkciách periodických funkciách funkciách, ktoré sú zdola alebo zhora ohraničené extrémoch funkcií – maximálnych a minimálnych hodnotách monotónnych funkciách (rastúce, klesajúce, nerastúce a neklesajúce) prostých funkciách inverzných funkciách …
V článku Kvadratická funkcia a jej graf sme sa naučili jednoduchý spôsob, ako načrtnúť graf kvadratickej funkcie. Stačilo nám zistiť súradnice vrcholu, priesečník s osou y a vedieť, či koeficient a je číslo záporné alebo kladné. Ak niektorí z vás pri svojich pokusoch používali aj náš Kreslič kvadratických funkcií, tak ste si určite všimli, že …
Pokračovať v čítaní „Graf kvadratickej funkcie pri zmene koeficientov“
Kvadratickou funkciou nazývame každú funkciu f: y = ax2 + bx + c, kde a≠0, a, b, c ∈ R Ak by sme použili koeficienty a = 1, b = c = 0, tak by sme dostali kvadratickú funkciu f: y = x2, ktorá je často nazývaná základná kvadratická funkcia. Neskôr sa k tejto funkcii …
Rovnicu tvaru ax + by + cz = d, kde a ≠ 0 alebo b ≠ 0 alebo c ≠ 0 nazývame lineárnou rovnicou s troma neznámymi x, y, z. Trojicu čísel x0, y0, z0 nazývame riešením vyššie uvedenej rovnice, ak platí: ax0 + by0 + cz0 = d Rovnice tvaru ax + by + cz = d, kde a ≠ 0 alebo …
Pokračovať v čítaní „Sústavy troch lineárnych rovníc s tromi neznámymi“
Rovnicu tvaru ax + by = c, kde a ≠ 0 alebo b ≠ 0 nazývame lineárnou rovnicou s dvoma neznámymi x, y. Dvojicu čísel x0 a y0 nazývame riešením vyššie uvedenej rovnice, ak platí: ax0 + by0 = c Rovnice tvaru ax + by = c, kde a ≠ 0 alebo b ≠ 0 dx + ey = f, kde d ≠ 0 alebo …
Pokračovať v čítaní „Sústavy dvoch lineárnych rovníc s dvomi neznámymi“
Lineárnou rovnicou s neznámou x nazývame každú rovnicu tvaru ax + b = 0, kde a, b sú reálne čísla a a ≠ 0. Pri riešení môžu nastať 3 prípady: ak a≠0, potom ax = -b a rovnica má práve jeden koreň x = -b/a; ak a = b = 0, po úprave dostaneme 0 = 0 a to je pravdivý …
Pokračovať v čítaní „Lineárne rovnice, riešenie lineárnych rovníc“
Nech f a g sú lineárne funkcie, ktorých definičné obory D(f) a D(g) a obory hodnôt sú H(f) a H(g) sú podmnožinami množiny reálnych čísel. Potom výrokovu formu f(x) = g(x), ktorá každému číslu x0∈D(f)∩D(g) priradí výrok f(x0) = g(x0), nazývame rovnica s jednou neznámou. Rovnica je teda výroková forma, preto obsahuje aspoň jednu neznámu, …
Lineárna funkcia je funkcia daná rovnicou y = ax + b , kde a, b sú reálne čísla. Grafom lineárnej funkcie je priamka alebo jej časť. Na zostrojenie grafu lineárnej funkcie nám stačí poznať súradnice dvoch jej bodov. Príklad 1: Zostrojte graf funkcie y=2x-1. Riešenie: Vhodne si zvolíme x-ové súradnice dvoch bodov funkcie a dosadením do predpisu funkcie dopočítame …
Priesečník s x-ovou osou má súradnice Px = [x;0] a priesečník s y-ovou osou má súradnice Py = [0;y]. Zistíme ich buď dosadením známej hodnoty do predpisu danej funkcie a riešením rovnice s jednou neznámou dopočítame druhú súradnicu alebo čítaním s grafu. Príklad 1: Určte priesečníky grafov daných funkcií so súradnicovými osami x, y. a) f: y = 2x …