Periodické funkcie

Funkciu f nazývame periodická funkcia práve vtedy, keď existuje také reálne číslo p≠0, že pre každé x ∈ D(f) je aj x ± p ∈ D(f) a platí:

f(x ± p) = f(x)

Číslo p nazývame perióda funkcie f.

Vo fyzike sa perióda označuje T.

Ak má daná funkcia f periódu p, ľahko dokážeme, že pre každé celé číslo k platí: f(x + kp) = f(x).

Teda daná funkcia má i periódu kp.

Dôkaz:

V(k): f(x + kp) = f(x)

1. Predpokladáme, že pre k = 1 platí V(1): f(x ± p) = f(x)

2. Dokážeme platnosť implikácie V(k) ⇒ V(k+1):

V(k): f(x + kp) = f(x) … indukčný predpoklad

V(k+1): f(x + (k+1)p) = f(x + p + kp) = f(x + kp) = f(x)

Takže implikácia V(k) ⇒ V(k+1) je pravdivý výrok, preto platí:

Ak má funkcia f periódu p, potom má aj periódu kp, kde k∈Z.


Graf periodickej funkcie sa pravidelne opakuje po intervaloch, ktorých dĺžka je rovná základnej perióde p.

Ukážky periodických funkcií:

f: y = x – [x], D(f) = R

Pre tých, ktorí nevedia, čo znamená [x], tak …

Pre každé reálne číslo x, existuje celé číslo z, pre ktoré platí:

zx < z+1

Celé číslo z, pre ktoré platí vyššie uvedené nazývame dolná celá časť (alebo len celá časť) a označujeme ho [x].

Napr. [3,56] = 3

Graf funkcie f: y = x – [x], D(f) = R

Periodická funkcia


Významnými periodickými funkciami sú goniometrické funkcie.

Napr. g: y = sinx, D(g) = R

Periodická funkcia

Rudolf Zrebný

Som obyčajný človek, ktorý má rád matematiku. Aj to je dôvod, prečo som sa stal učiteľom matematiky a vo voľných chvíľach pracujem na webe pohodovamatematika.sk. Časť voľného času venujem tvorbe webových stránok a bicyklovaniu v prírode. Inak sa snažím väčšinu dňa prežiť s mojou krásnou rodinkou.