Periodické funkcie

Funkciu f nazývame periodická funkcia práve vtedy, keď existuje také reálne číslo p≠0, že pre každé x ∈ D(f) je aj x ± p ∈ D(f) a platí:

f(x ± p) = f(x)

Číslo p nazývame perióda funkcie f.

Vo fyzike sa perióda označuje T.

Ak má daná funkcia f periódu p, ľahko dokážeme, že pre každé celé číslo k platí: f(x + kp) = f(x).

Teda daná funkcia má i periódu kp.

Dôkaz:

V(k): f(x + kp) = f(x)

1. Predpokladáme, že pre k = 1 platí V(1): f(x ± p) = f(x)

2. Dokážeme platnosť implikácie V(k) ⇒ V(k+1):

V(k): f(x + kp) = f(x) … indukčný predpoklad

V(k+1): f(x + (k+1)p) = f(x + p + kp) = f(x + kp) = f(x)

Takže implikácia V(k) ⇒ V(k+1) je pravdivý výrok, preto platí:

Ak má funkcia f periódu p, potom má aj periódu kp, kde k∈Z.

---

Graf periodickej funkcie sa pravidelne opakuje po intervaloch, ktorých dĺžka je rovná základnej perióde p.

Ukážky periodických funkcií:

f: y = x – [x], D(f) = R

Pre tých, ktorí nevedia, čo znamená [x], tak …

Graf funkcie f: y = x – [x], D(f) = R

---

Významnými periodickými funkciami sú goniometrické funkcie.

Napr. g: y = sinx, D(g) = R