Riešenie rýdzo kvadratickej rovnice

Kvadratická rovnica bez linárneho člena – tzv. rýdzo kvadratická rovnica je rovnica v tvare

ax2 + c = 0,

kde a, c ∈ R – {0}.

Tento typ rovnice riešime rozkladom na súčin v závislosti od konkrétnych hodnôt koeficientov a, c. Prečo? Najlepšie to pochopíte na príkladoch.

Príklad 1:

Riešte v množine R rovnicu: x2 – 9 = 0.

Riešenie:

x2 – 9 = 0

je zrejmé, že rovnicu môžeme rozložiť na súčin podľa vzťahu a2-b2=(a-b)(a+b)

(x – 3) · (x + 3) = 0

⇒ x – 3 = 0 alebo x + 3 = 0

Po vyriešení oboch lineárnych rovníc

x – 3 = 0 / +3
x = 3

x + 3 = 0 / -3
x = -3

získame korene danej kvadratickej rovnice.

Teda P = {-3, 3}.


Príklad 2:

Riešte v množine R rovnicu: -4x2 + 25 = 0.

Riešenie:

Riešime obdobne ako predošlý príklad – úpravou na súčin. Pre zjednodušenie môžeme vymeniť poradie kvadratického a absolútneho člena: 25 – 4x2 = 0.

(5 – 2x)(5 + 2x)=0

Teda P = {-2,5; 2,5}.


Na základe uvedených dvoch príkladov môžeme vysloviť záver:

Ak a<0 a b>0 alebo a>0 a b<0, tak daná rovnica má práve dva reálne korene.

Samozrejme, riešenie si môžeme aj urýchliť:


Príklad 3:

Riešte v množine R rovnicu: -4x2 + 16 = 0.

Riešenie:

-4x2 + 16 = 0 /-16
-4x2 = -16 /:(-4)
x2 = 4
x1, 2 = ±2

Teda P = {-2; 2}.


Tento spôsob riešenia skrýva úskalie. Častou chybou je, že študent rieši rovnicu x2 = 4 iba odmocnením, čiže x = 4 = 2 a to je chyba.

Správne:

|x| = 4 = 2, čiže x1, 2 = ±2


Zostáva nám overiť už iba jediné – ak oba koeficienty a, c sú kladné (záporné) čísla.

Príklad 4:

Riešte v množine R rovnicu: -4x2 – 16 = 0.

Riešenie:

-4x2 – 16 = 0 /+16
-4x2 = +16 /:(-4)
x2 = -4

Lenže druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla je vždy nezáporné číslo, čiže číslo ≥0, ale -4<0.

Daná rovnica teda nemá riešenie.

Teda P = {}.


K podobnému záveru ako v predošlom príklade by sme dospeli i pre kladné koeficienty a, c. Preto

Ak a<0 a b<0 alebo a>0 a b>0, tak daná rovnica nemá riešenie v obore reálnych čísel.

Rudolf Zrebný

Som obyčajný človek, ktorý má rád matematiku. Aj to je dôvod, prečo som sa stal učiteľom matematiky a vo voľných chvíľach pracujem na webe pohodovamatematika.sk. Časť voľného času venujem tvorbe webových stránok a bicyklovaniu v prírode. Inak sa snažím väčšinu dňa prežiť s mojou krásnou rodinkou.