Rovnosť funkcií

O dvoch funkciách f a g hovoríme, že sú si rovné práve vtedy, keď definičný obor funkcie f a definičný obor funkcie g sú tie isté množiny a pre každé x∈D(f) platí: f(x)=g(x).

Rovnosť dvoch funkcií f a g zapisujeme: f = g

O funkciách, ktoré nie sú si rovné hovoríme, že sú rôzne a zapisujeme fg.

Teraz si uvedieme príklady funkcií, ktoré sa rovnajú a tiež funkcií, ktoré sú rôzne.


Príklad 1:

Sú dané funkcie f: y = (x – 1)2 a g: y = x – 1. Zistite, či platí rovnosť f = g.

Riešenie:

Už vieme, že prvou podmienkou rovnosti funkcií f, g je rovnosť ich definičných oborov. Zistíme teda D(f) a D(g).

Je zrejmé, že D(f) = R a D(g) = R, čiže D(f) = D(g)

Zatiaľ by sa mohlo zdať, že rovnosť funkcií skutočne platí, ale … nesmieme zabudnúť na druhú podmienku.

Keďže pre každé x∈D(f) musí platiť f(x)=g(x), tak stačí nájsť jediné x, pre ktoré táto podmienka neplatí a môžeme hovoríť, že funkcie sú rôzne.

Podarí sa nám to? Skúsme.

x = 2 … f(2) = 1 … g(2) = 1 … f(x)=g(x)
x = 4 … f(4) = 3 … g(2) = 3 … f(x)=g(x)
x = 7 … f(7) = 6 … g(2) = 6 … f(x)=g(x)

Vyzerá to tak, že pre kladné čísla x podmienka platí. Vyskúšame záporné čísla?

x = -2 … f(-2) = (-2 – 1)2 = (-3)2 = 9 = 3 … g(-2) = -2 – 1 = -3 … f(x)≠g(x)

A ďalej nepotrebujeme skúšať. Už teraz môžeme povedať, že

fg

Mohli by sme samozrejme využiť i svoje vedomosti o definičných oboroch, oboroch hodnôt a odmocninách. Vieme, že druhá odmocnina z nezáporného čísla je definovaná ako nezáporné číslo, preto funkcia f môže nadobúdať iba hodnoty väčšie alebo rovné 0. Naproti tomu funkcia g môže nadobúdať i záporné hodnoty a to je dôvod nerovnosti funkcií.


Príklad 2:

Sú dané funkcie h: y = (x – 1)2 a g: y = |x – 1|2. Zistite, či platí rovnosť h = g.

Riešenie:

Opäť je zrejmé, že D(h) = R a D(g) = R, čiže D(h) = D(g)

Platí aj druhá podmienka?

Vieme, že platí: |a| = a pre a ≥0 a |a| = –a pre a <0. Preto budeme uvažovať 2 prípady:

1. x – 1 ≥ 0

h(x) = (x – 1)2
g(x) = |x – 1|2 = (x – 1)2h(x) = g(x)

2. x – 1 < 0

h(x) = (x – 1)2
g(x) = |x – 1|2 = (-(x – 1))2 = (x – 1)2h(x) = g(x)

V oboch prípadoch platí h(x) = g(x), preto

h = g


Rudolf Zrebný

Som obyčajný človek, ktorý má rád matematiku. Aj to je dôvod, prečo som sa stal učiteľom matematiky a vo voľných chvíľach pracujem na webe pohodovamatematika.sk. Časť voľného času venujem tvorbe webových stránok a bicyklovaniu v prírode. Inak sa snažím väčšinu dňa prežiť s mojou krásnou rodinkou.