Slovné úlohy vedúce k riešeniu kvadratických rovníc

Často sa môžete stretnúť so slovnými úlohami (i v reálnom živote), pri riešením ktorých sa dostanete k riešeniu kvadratickej rovnice. Jednu si teraz vyriešime a ďalšie nájdete v časti neriešené úlohy.

Príklad 1:

Dĺžky strán pravouhlého trojuholníka ABC tvoria tri za sebou idúce prirodzené čísla. Určte obvod trojuholníka.

Riešenie:

Budeme predpokladať pravý uhol pri vrchole C, potom najdlhšia strana trojuholníka bude jeho prepona, čiže strana c.

a = x, x∈(0,∞), lebo dĺžka strany je kladné číslo
b = x+1,
c = x+2

V pravouhlom trojuholníku platí Pytagorova veta, preto:

(x+2)2 = x2 + (x+1)2

Získali sme rovnicu, ktorú vyriešime:

(x+2)2 = x2 + (x+1)2
x2 + 4x + 4 = x2 + x2 + 2x + 1
x2 + 4x + 4 = 2x2 + 2x + 1 /-2x2 – 2x – 1
-x2 + 2x + 3 = 0 /·(-1)
x2 – 2x – 3 = 0 Môžeme využiť Vietove vzťahy
(x – 3)(x + 1) = 0

x1 = 3, x1 = -1

Nášmu riešeniu vyhovuje x1 = 3, keďže dĺžka strany je kladné číslo.

Určíme dĺžky strán trojuholníka:

a = 3
b = x + 1 = 3 + 1 = 4
c = x + 2 = 3 + 2 = 5

A vypočítame obvod daného trojuholníka:

o = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12

Obvod pravouhlého trojuholníka ABC je 12.


Rudolf Zrebný

Som obyčajný človek, ktorý má rád matematiku. Aj to je dôvod, prečo som sa stal učiteľom matematiky a vo voľných chvíľach pracujem na webe pohodovamatematika.sk. Časť voľného času venujem tvorbe webových stránok a bicyklovaniu v prírode. Inak sa snažím väčšinu dňa prežiť s mojou krásnou rodinkou.