Slovné úlohy vedúce k riešeniu kvadratických rovníc
Často sa môžete stretnúť so slovnými úlohami (i v reálnom živote), pri riešením ktorých sa dostanete k riešeniu kvadratickej rovnice. Jednu si teraz vyriešime a ďalšie nájdete v časti neriešené úlohy.
Príklad 1:
Dĺžky strán pravouhlého trojuholníka ABC tvoria tri za sebou idúce prirodzené čísla. Určte obvod trojuholníka.
Riešenie:
Budeme predpokladať pravý uhol pri vrchole C, potom najdlhšia strana trojuholníka bude jeho prepona, čiže strana c.
a = x, x∈(0,∞), lebo dĺžka strany je kladné číslo
b = x+1,
c = x+2
V pravouhlom trojuholníku platí Pytagorova veta, preto:
(x+2)2 = x2 + (x+1)2
Získali sme rovnicu, ktorú vyriešime:
| (x+2)2 = | x2 + (x+1)2 | |
| x2 + 4x + 4 = | x2 + x2 + 2x + 1 | |
| x2 + 4x + 4 = | 2x2 + 2x + 1 | /-2x2 – 2x – 1 |
| -x2 + 2x + 3 = | 0 | /·(-1) |
| x2 – 2x – 3 = | 0 | Môžeme využiť Vietove vzťahy |
| (x – 3)(x + 1) = | 0 |
x1 = 3, x1 = -1
Nášmu riešeniu vyhovuje x1 = 3, keďže dĺžka strany je kladné číslo.
Určíme dĺžky strán trojuholníka:
a = 3
b = x + 1 = 3 + 1 = 4
c = x + 2 = 3 + 2 = 5
A vypočítame obvod daného trojuholníka:
o = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12
Obvod pravouhlého trojuholníka ABC je 12.