Párne a nepárne funkcie

Nech pre funkcie f s definičným oborom D(f)) platí:

x ∈ D(f) a zároveň –x ∈ D(f)

V takom prípade rozlišujeme dva významné typy funkcií: párnu funkciu a nepárnu funkciu.

Párna funkcia:

Funkciu f nazývame párnou práve vtedy, keď pre každé x∈D(f) platí:

f(-x) = f(x)

---

Príklad 1:

Ktoré z daných funkcií sú párne?

1. f: y = |x|
2. g: y = x²
3. h: y = |x – 1|

Riešenie:

a) Pri riešení nám postačuje určiť f(-x) a zistiť, či je rovné f(x).

Spomenieme si na absolútnu hodnotu:

|a| = a pre a≥0 … napr. |5| = 5
|a| = -a pre a<0 … napr. |-3| = -(-3) = 3
Výsledok je vždy kladné číslo.

Keďže predpis funkcie je y = |x|, tak musíme uvažovať dva prípady:

1. prípad: Overíme rovnosť pre x ≥ 0

f(x) = |x| = x … (v absolutnej hodnote je kladné číslo … odstránením absolútnej hodnoty sa nič nemení)

f(-x) = |-x| = -(-x) = x … (v absolutnej hodnote je záporné číslo … odstránením absolútnej hodnoty sa mení dané číslo na kladné)

V tomto prípade teda f(-x) = f(x)

2. prípad: Overíme rovnosť pre x < 0

f(x) = |x| = –x … (v absolutnej hodnote je záporné číslo … odstránením absolútnej hodnoty sa mení dané číslo na kladné)

f(-x) = |-x| = –x = x … (v absolutnej hodnote je kladné číslo … odstránením absolútnej hodnoty sa nič nemení)

Aj v tomto prípade teda f(-x) = f(x)

Môžeme teda povedať, že f(-x) = f(x) pre každé x∈D(f), teda funkcia je párna.

b) g: y = x²

g(x) = x² pre každé x∈D(g)

g(-x) = (-x)² = x² pre každé x∈D(g) (vieme, že druhá mocnina ľubovoľného čísla je číslo nezáporné)

Opäť platí f(-x) = f(x) pre každé x∈D(f), teda funkcia je párna.

c) Keďže predpis funkcie je y = |x – 1|, tak musíme uvažovať dva prípady:

1. prípad: Overíme rovnosť pre x-1 ≥ 0, teda x ≥ 1

h(x) = |x-1| = x-1 … (v absolutnej hodnote je kladné číslo … odstránením absolútnej hodnoty sa nič nemení)

h(-x) = |-x-1| = -(-x-1) = x+1 … (v absolutnej hodnote je záporné číslo … odstránením absolútnej hodnoty sa mení dané číslo na kladné)

V tomto prípade teda h(-x) ≠ h(x) môžeme teda povedať, že funkcia nie je párna.

---

Nepárna funkcia:

Funkciu f nazývame nepárnou práve vtedy, keď pre každé x∈D(f) platí:

f(-x) = –f(x)

---

Príklad 2:

Ktoré z daných funkcií sú nepárne?

1. f: y = x
2. g: y = x² – 1
3. h: y = x – 1

Riešenie:

a) f(x) = x

f(-x) = –x = –f(x) … môžeme teda povedať, že f(-x) = –f(x) pre každé x∈D(f), teda funkcia je nepárna.

b) g(x) = x² – 1

g(-x) = (-x²) – 1 = x² – 1 ≠ –g(x) pre každé x∈D(g), teda funkcia nie je nepárna.

Všimnite si, že v tomto prípade g(-x) = g(x), teda funkcia je párna.

c) h(x) = x – 1

h(-x) = –x-1 = -(x+1) … (v absolutnej hodnote je kladné číslo … odstránením absolútnej hodnoty sa nič nemení)

f(-x) = |-x-1| = -(-x-1) = x+1 ≠ –h(x) pre každé x∈D(h), teda funkcia nie je nepárna.

Všimnite si, že v tomto prípade h(-x) ≠ h(x), teda funkcia nie je ani párna.

---

Ako zistíme, či je funkcia párna alebo nepárna, ak poznáme iba jej graf?

Stačí, keď si zopakujeme pojmy osová a stredová súmernosť.

Funkcia je párna, ak jej graf je osovo súmerný podľa osi y.

Napríklad:

Funkcia je nepárna, ak jej graf je stredovo súmerný podľa bodu [0, 0].

Napríklad: