Riešenie kvadratickej rovnice v normovanom tvare

Kvadratická rovnica v normovanom tvare je rovnica v tvare

ax2 + bx + c = 0,

kde a = 1.

Ak je a≠1, tak celú rovnicu vydelíme číslom a. Získame tak rovnicu

x2 + px + q = 0,

kde p = b/a, q = c/a.

Tento typ rovnice môžeme okrem „riešenia pomocou diskriminantu“ riešiť rozkladom na súčin s využitím vzťahov medzi koreňmi rovnice a koeficientmi p, q.

Platí:

x1 · x2 = q

x1 + x2 = -p

Riešiť kvadratickú rovnicu týmto spôsobom má zmysel riešiť len v prípade, že jej riešením sú celé čísla. Vtedy pre nás nie je problém určiť x1 a x2 takmer bez premýšľania.

Príklad 1:

Riešte v množine R rovnicu: x2 – 3x + 2 = 0.

Riešenie:

Hľadajme teda čísla (korene danej kvadratickej rovnice), pre ktoré platia vyššie uvedené vzťahy:

x1 · x2 = 2 … s využitím celých čísel máme dve možnosti:

2 · 1 = 2 alebo (-2) · (-1) = 2

Ďalej je nutné, aby x1 + x2 = -p čiže x1 + x2 = -(-3) = 3.

Overíme pre oba prípady:

1 + 2 = 3
-1 + (-2) = -3

Vidíme, že obom rovnostiam vyhovujú čísla 1 a 2, teda P = {1, 2}


Samozrejme pri riešení nepotrebujeme všetko vypisovať a riešenie s využitím Vietovych vzorcov môže výrazne urýchliť riešenie rovnice.

Rudolf Zrebný

Som obyčajný človek, ktorý má rád matematiku. Aj to je dôvod, prečo som sa stal učiteľom matematiky a vo voľných chvíľach pracujem na webe pohodovamatematika.sk. Časť voľného času venujem tvorbe webových stránok a bicyklovaniu v prírode. Inak sa snažím väčšinu dňa prežiť s mojou krásnou rodinkou.