Riešenie kvadratickej rovnice

V predchádzajúcich článkoch sme si ukázali spôsob riešenia kvadratických rovníc, kde chýbal lineárny alebo absolútny člen, prípadne riešenie kvadratickej rovnice v normovanom tvare s využitím Vietovych vzorcov.

Čo ale v prípade, ak nemôžeme využiť ani jeden z predchádzajúcich spôsobov?

V takom prípade o riešiteľnosti danej kvadratickej rovnice ax2 + bx + c = 0 – či daná rovnica má alebo nemá riešenie, resp. aké sú hodnoty koreňov danej kvadratickej rovnice rozhoduje výraz

D = b2 – 4ac,

ktorý nazývame diskriminant.

Platí:

  • ak D > 0, tak daná kvadratická rovnica má 2 rôzne reálne korene
  • ak D = 0, tak daná kvadratická rovnica má dva rovnaké reálne korene, čiže tzv. dvojnásobný reálny koreň
  • ak D < 0, tak daná kvadratická rovnica nemá riešenie v obore reálnych čísel (samozrejme v obore komplexnýxh čísel má dva imaginárne komplexne združené korene)

Z predchádzajúceho je zrejmé, že v prípade D≥0 má zmysel pokračovať v riešení kvadratickej rovnice.

Ako určíme korene x1, x2?

x1, 2 = -b ± D resp. x1, 2 = -b ± b2 – 4ac
2a 2a

Príklad 1:

Riešte v množine R rovnicu: 5x2 – 2x – 3 = 0.

Riešenie:

D = b2 – 4ac = (-2)2 – 4·5·(-3) = 4 + 60 = 64

D > 0 ⇒ daná rovnica má dva rôzne reálne korene, ktoré vypočítame.

x1, 2 = -b ± D = -(-2) ± 64 = 2 ± 8
2a 2·5 2·5

Teda x1 = 2 + 8 = 1 a x2 = 2 – 8 = -6 = -3
2·5 2·5 10 5

P = {-3/5, 1}


Príklad 2:

Riešte v množine R rovnicu: 25x2 – 10x + 1 = 0.

Riešenie:

D = b2 – 4ac = (-10)2 – 4·25·1 = 100 – 100 = 0

D = 0 ⇒ daná rovnica má dvojnásobný reálny koreň, ktorý vypočítame.

x1, 2 = -b ± D = -(-10) ± 0 = 10 = 1
2a 2·25 50 5

P = {1/5}

Všimnite si:

Keď D=0, riešením je dvojnásobný koreň a v takom prípade (tí, ktorí ovládajú vzťah a2+2ab+b2=(a+b)2) nie je problém riešiť rovnicu úpravou podľa tohto vzťahu.

25x2 – 10x + 1 = 0
(5x – 1)2 = 0
5x – 1 = 0
5x = 1
x = 1/5


Príklad 3:

Riešte v množine R rovnicu: 2x2 – 2x + 3 = 0.

Riešenie:

D = b2 – 4ac = (-2)2 – 4·2·3 = 4 – 24 = -20

D < 0 ⇒ daná rovnica nemá v obore reálnych čísel riešenie.

P = {}


Rudolf Zrebný

Som obyčajný človek, ktorý má rád matematiku. Aj to je dôvod, prečo som sa stal učiteľom matematiky a vo voľných chvíľach pracujem na webe pohodovamatematika.sk. Časť voľného času venujem tvorbe webových stránok a bicyklovaniu v prírode. Inak sa snažím väčšinu dňa prežiť s mojou krásnou rodinkou.