Zapisovanie množiny reálnych čísel pomocou intervalov

V článku Množina a jej určenie, konečná a nekonečná množina sme si hovorili o dvoch možnostiach zápisu množín – vymenovaním prvkov alebo určením charakteristických vlastností prvkov. Pozrime sa teraz spoločne na nasledovné dve zadania:

Príklad 1:

Dané sú dve množiny: A = {x∈N; 2<x<7}, B = {x∈R; 2<x<7}. Zapíšte tieto množiny vymenovaním prvkov.

Riešenie:

Množinu A viete určite všetci zapísať vymenovaním prvkov bez zaváhania. Teda A = {3; 4; 5; 6}.

Čo ale spravíme s množinou B? Bude to tiež množina {3; 4; 5; 6}?

Určite nie, pretože by sme museli zapísať i číslo 2,1 alebo 2,23 alebo 2,2346 alebo 2,007 atď. pretože všetko sú to reálne čísla väčšie ako 2 a zároveň menšie ako 7. Správne uvažujete, že vymenovaním prvkov sa nám množinu B nepodarí zapísať. Vždy by sme našli ďalšie a ďalšie čísla, ktoré by neboli zapísané.

A riešenie?

Množina B patrí medzi tie množiny reálnych čísel, ktoré je možné zobraziť na číselnej osi úsečkou, polpriamkou alebo priamkou, pričom krajné body tejto úsečky alebo začiatočný bod polpriamky môžu, ale nemusia patriť k týmto množinám. Takéto podmnožiny množiny R nazývame intervaly .

Ohraničené intervaly sú intervaly, ktoré je možné na číselnej osi zobraziť pomocou úsečky. Podľa toho, či tejto úsečke patria 2, 1 alebo žiadny z krajných bodov rozlišujeme ohraničené intervaly uzavreté, polouzavreté a otvorené .

Interval Množina Znázornenie na číselnej osi Zápis
uzavretý {x∈R; a≤x≤b} obr. uzavrety interval <a, b>
(zľava uzavretý, sprava otvorený) {x∈R; a≤x<b} obr. uzavrety interval <a, b)
polouzavretý (zľava otvorený, sprava uzavretý) {x∈R; a<x≤b} obr. uzavrety interval (a, b>
otvorený {x∈R; a<x<b} obr. uzavrety interval (a, b)

A teraz môžeme zapísať množinu B z príkladu 1 ako interval (2; 7).

Pri zápise neohraničených intervalov používame znak + ∞ alebo – ∞.

Interval Množina Znázornenie na číselnej osi Zápis
sprava neohraničený {x∈R; x≥a} obr. sprava neohraničený interval <a, ∞)
{x∈R; x>a} obr. sprava neohraničený interval (a, ∞)
zľava neohraničený {x∈R; x≤a} obr. zľava neohraničený interval (-∞, a>
{x∈R; x<a} obr. zľava neohraničený interval (-∞, a)
obojstranne neohraničený R obr. obojstranne neohraničený interval (-∞, ∞)

Keďže intervaly sú množiny, tak môžeme určovať zjednotenie, prienik, rozdiel intervalov i doplnok intervalu vzhľadom na množinu R.

Príklad 2:

Dané sú intervaly A = <–2, 3), B = (–1, 5>, C = (3, ∞). Určte
a) A∪B
a) A∩B
a) C – B
b) B‘R

Riešenie:

a) zjednotenie intervalov A∪B = <-2; 5>

b) prienik intervalov A∩B = (-1; 3)

c) zjednotenie intervalov C – B = (5; ∞)

d) zjednotenie intervalov B‘R = (-∞; -1> ∪ (5; ∞)


Rudolf Zrebný

Som obyčajný človek, ktorý má rád matematiku. Aj to je dôvod, prečo som sa stal učiteľom matematiky a vo voľných chvíľach pracujem na webe pohodovamatematika.sk. Časť voľného času venujem tvorbe webových stránok a bicyklovaniu v prírode. Inak sa snažím väčšinu dňa prežiť s mojou krásnou rodinkou.