Pridaj na: Facebook | Twitter | Pošli na vybrali.sme.sk Vybrali.sme

Výrazy a ich úpravy

Počtový výraz je matematický zápis, ktorým vyjadrujeme počtové operácie s číslami a poradie v akom majú byť prevedené. Napr.: (2∙(5–1,76)+5):0,4.

Algebraický výraz je počtový výraz, ktorý obsahuje číselné premenné a vyjadruje k nim základné počtové operácie alebo k nim inverzné počtové operácie, umocňovanie resp. odmocňovanie.

Racionálny algebraický výraz neobsahuje odmocniny, napr.
Iracionálny algebraický výraz obsahuje odmocniny, napr.

Definičný obor premenných algebraického výrazu je množina všetkých takých hodnôt premenných, pre ktoré má algebraický výraz zmysel. Zvyčajne ho označujeme D_f.

Príklad 1:

Urč definičný obor reálnych premenných pre dané algebraické výrazy:
a)
b)

Riešenie:

a) 3–x≠0 ⇒ x≠3 teda D_f=R–{3}

b) 2x – 7	≥	0
2x	≥	7
x	≥	3,5 teda D_f= <3,5;∞

Výpočet hodnoty algebraického výrazu pre dané hodnoty premenných vykonáme dosadením daných hodnôt premenných za jednotlivé premenné a určením hodnoty takto vzniknutého číselného výrazu.

Príklad 2:

Vypočítaj hodnotu daných algebraických výrazov pre dané hodnoty premenných:
a) V(x)= pre x=3;
b) V(a)=3∙(2x–8) pre a=7;2,5

Riešenie:

a) V(3)=
V( )=
b) V(7)=3∙(2∙7–8)=...=18;
V(2,5) = 3∙(2∙2,5 – 8) = ... = – 9;

Dva algebraické výrazy V₁, V₂ sa rovnajú v množine M, ktorá je podmnožinoudefiničných oborov oboch výrazov práve vtedy, keď pre všetky rovnaké prípustné hodnoty premenných nadobúdajú oba výrazy rovnakú hodnotu. Potom píšeme V₁=V₂.

Príklad 3:

Pre aké hodnoty premennej x sú si rovné výrazy a ?

Riešenie:

= pre x≠0 ∧ x≥0⇒výrazy sa rovnajú pre x∈(0;∞)

Úpravou algebraického výrazu rozumieme nahradenie daného výrazu iným výrazom, ktorý sa mu rovná vspoločnom definičnom obore premenných. Tento definičný obor určíme z podmienok, za ktorých má daný výraz i jeho riešenie zmysel.

Pri úpravách sa často vyžaduje úprava výrazu na súčin, zjednodušenie výrazu, odstránenie odmocniny z menovateľa, ...

Pri úpravách racionálnych lomených výrazov používame vzťahy pre počítanie so zlomkami a vzťahy na rozklad mnohočlenov.

Vzorce pre druhé a tretie mocniny dvojčlenov a+b, a-b (a,b∈R resp. C):

(a+b)²=a²+2ab+b²;
(a-b)²=a²-2ab+b²;
(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³;
(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³;

napr.: (2+3x)²=4+12x+9x²;
napr.: (y-7)²=y²-14y+49;
napr.: (2+5x)³=8+60x+150x²+125x³;
napr.: (1-2y)³=1-6y+12y²-8y³;

Ďalšie vzorce (a,b∈R resp. C):

a²-b²=(a-b).(a+b);
a³+b³=(a+b).(a²-ab+b²);
a³-b³=(a-b).(a²+ab+b²);

napr.: 4–9x²=(2–3x).(2+3x);
napr.: 27+125x³=(3+5x).(9–15x+25x²);
napr.: 8p³–27q³=(2p–3q).(4p²+6pq–9q²);

Sčítanie a odčítanie algebraických zlomkov:

Príklad 4:

Vypočítajte:

Riešenie:

najskôr určíme podmienky, za ktorých majú dané výrazy zmysel (v menovateli nesmie byť 0, základ druhej odmocniny musí byť ≥0);
potom rozložíme menovatele na súčin lineárnych jedno- alebo dvojčlenov pomocou vynímania pred zátvorku alebo pomocou vyššie uvedených vzťahov;
potom určíme spoločný menovateľ tak, že najskôr odpíšeme prvý menovateľ apostupne z každého menovateľa pridávame tie činitele, ktoré sa v spoločnom menovateli ešte nenachádzajú, čiže odpíšeme (x-1) a potom pridáme (x+1);
následne spoločný menovateľ (x+1)(x–1) delíme menovateľom (x+1) a násobíme príslušným čitateľom 3 , teda píšeme 3∙(x–1) ; podobne spoločný menovateľ (x+1)(x–1) delíme menovateľom (x-1)(x+1) a násobíme príslušným čitateľom x , teda píšeme 1∙x čiže x ; a nakoniec spoločný menovateľ (x+1)(x–1) delíme menovateľom (x-1) a násobíme príslušným čitateľom 2 , teda píšeme 2∙(x+1) ;
zjednodušíme čitateľ a ak sa dá, pokúsim sa upraviť ho na súčin a vykrátiť s menovateľom;

Násobenie algebraických zlomkov:

Pri násobení zlomkov násobíme čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom a ak chceme daný výraz zjednodušiť, tak menovateľ i čitateľ rozložíme na súčin a vykrátime.

Príklad 5:

Vypočítajte:

Riešenie:

; podmienky riešiteľnosti: x≠±2 ∧ x≠0

Delenie algebraických zlomkov:
pri delení dvoch zlomkov násobíme prvý zlomok prevráteným druhým zlomkom;

Príklad 6:

Vypočítajte:

Riešenie:

; podmienky riešiteľnosti: x≠3 ∧ x≠0

Úprava zloženého algebraického zlomku:

Postupujeme buď tak, že zložený zlomok nahradíme delením dvoch zlomkov alebo podľa nasledovnej schémy (vonkajšie krát vonkajšie lomeno vnútorné krát vnútorné):

Príklad 7:

Vypočítajte: