Sústavy troch lineárnych rovníc s tromi neznámymi

Rovnicu tvaru ax + by + cz = d, kde a ≠ 0 alebo b ≠ 0 alebo c ≠ 0 nazývame lineárnou rovnicou s troma neznámymi x, y, z.

Trojicu čísel x0, y0, z0 nazývame riešením vyššie uvedenej rovnice, ak platí:

ax0 + by0 + cz0 = d

Rovnice tvaru

ax + by + cz = d, kde a ≠ 0 alebo b ≠ 0 alebo c ≠ 0
ex + fy + gz = h, kde e ≠ 0 alebo f ≠ 0 alebo g ≠ 0
ix + jy + kz = l, kde i ≠ 0 alebo j ≠ 0 alebo k ≠ 0

nazývame sústavou troch lineárnych rovníc s troma neznámymi x, y, z.

Trojicu čísel x0, y0, z0 nazývame riešením vyššie uvedenej sústavy rovníc, ak platí:

ax0 + by0 + cz0 = d, kde a ≠ 0 alebo b ≠ 0 alebo c ≠ 0
ex0 + fy0 + gz0 = h, kde a ≠ 0 alebo b ≠ 0 alebo c ≠ 0
ix0 + jy0 + kz0 = l, kde a ≠ 0 alebo b ≠ 0 alebo c ≠ 0

Pri riešení sústavy troch rovníc s troma neznámymi najčastejšie využívame:

  1. Gaussovu eliminačnú metódu;
  2. Cramerovo pravidlo;
  3. dosadzovacia metódu.

Gaussovu eliminačnú metóda:

Táto metóda spočíva v postupnej úprave sústavy rovníc na tzv. trojuholníkový tvar, kde v druhej rovnici je eliminovaná prvá neznáma a v tretej rovnici je eliminovaná prvá a druhá neznáma.

Samotný postup riešenia sústavy rovníc pomocou Gaussovej eliminačnej metódy si ukážeme na príklade.

Príklad 1:

Riešte danú sústavu rovníc s neznámymi x, y, z ∈ R:

\begin{matrix}2x-3y+2z&=&2\\-x-4y-3z&=&-18\\3x+5y-z&=&10\\\end{matrix}

Riešenie:

Kvôli jednoduchšiemu počítaniu sa snažíme mať ako prvú rovnicu tú z troch rovníc, ktorú dokážeme najjednoduchšie upraviť na tvar s koeficientom 1 pred prvou neznámou (prípadne pred inou neznámou a vtedy by sme museli vymeniť poradie neznámych).

V našom prípade si na prvé miesto presunieme 2. rovnicu vynásobenú číslom (-1).

\begin{matrix}2x-3y+2z&=&2\\-x-4y-3z&=&-18&\text{/.(-1) a vymenime s 1. rov.}\\3x+5y-z&=&10\end{matrix}


\Rightarrow\begin{matrix}x+4y+3z&=&18\\2x-3y+2z&=&2\\3x+5y-z&=&10\\\end{matrix}

Prvú rovnicu odpíšeme.(-2)-násobok prvej rovnice pripočítame k druhej rovnici (tým eliminujeme neznámu x v druhej rovnici) a (-3)-násobok prvej rovnice pripočítame k tretej rovnici (tým eliminujeme neznámu x v tretej rovnici).

\begin{matrix}x+4y+3z&=&18&\text{/.(-2) a pripocitame k 2. rov.}\\2x-3y+2z&=&2\\3x+5y-z&=&10\end{matrix}


\Rightarrow\begin{matrix}x+4y+3z&=&18\\-11y-4z&=&-34\\3x+5y-z&=&10\end{matrix}

 

 

\begin{matrix}x+4y+3z&=&18&\text{/.(-3) a pripocitame k 3. rov.}\\-11y-4z&=&-34\\3x+5y-z&=&10\end{matrix}


\Rightarrow\begin{matrix}x+4y+3z&=&18\\-11y-4z&=&-34\\-7y-10z&=&-44\end{matrix}

Prvú rovnicu odpíšeme. Aby sme pred neznámou y dostali v druhej a tretej rovnici navzájom opačné čísla, tak druhú rovnicu násobíme číslom (-7) a tretiu rovnicu číslom 11.

\begin{matrix}x+4y+3z&=&18\\-11y-4z&=&-34&\text{/.(-7)}\\-7y-10z&=&-44&\text{/.(11)}\end{matrix}


\Rightarrow\begin{matrix}x+4y+3z&=18\\77y+28z&=238\\-77y-110z&=-484\end{matrix}

1. a 2. rovnicu odpíšeme a 2. rovnicu pripočítame k tretej.

\begin{matrix}x+4y+3z&=18\\77y+28z&=238&\text{/ pripocitame k 3. rovnici}\\-77y-110z&=-484\end{matrix}


\Rightarrow\begin{matrix}x+4y+3z&=&18&\\77y+28z&=&238&\\-82z&=&-246\text{/:(-82)}\Rightarrow z=3\text{ a dosadime do 2. rov.}\end{matrix}


\begin{matrix}77y+28 \cdot 3=238 \Rightarrow 77y=154 \Rightarrow y=2\\\end{matrix}

Následne z=3 aj y=2 dosadíme do 1. rovnice

\begin{matrix}x+4 \cdot 2+3 \cdot 3=18 \Rightarrow x+17=18 \Rightarrow x=1\\\end{matrix}

Skúšku správnosti vykonáme dosadením vypočítaných hodnôt do všetkých troch rovníc.

Riešením danej sústavy rovníc je usporiadaná trojica [x,y,z]=[1, 2, 3].

Príklad 2:

Riešte sústavu rovníc s neznámymi abc ∈ R Gaussovou eliminačnou metódou:

\begin{matrix}2a-3b+c&=&5\\5a+2b-c&=&4\\-3a-b-2c&=&5\\\end{matrix}

Riešenie:

Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica [a; b; c] = [ ; ; ].

Kontrola Správne riešenie      

Cramerovo pravidlo:

Táto metóda umožňuje riešiť sústavu n-rovníc s n-neznámymi. Vhodnou metódou na riešenie sústav n-rovníc s n-neznámymi sa javí v prípade, ak n<4. pre n>3 je vhodnejšou metódou Gaussova eliminačná metóda. Cramerovo pravidlo predpokladá znalosť práce s maticami a determinantmi.

Príklad 3:

Riešte danú sústavu rovníc s neznámymi x, y, z ∈ R:

\begin{matrix}x-y-2z&=&2\\2x+4y+z&=&1\\3x-2y-3z&=&-1\end{matrix}

Riešenie:

Danú sústavu si zapíšeme v tvare matíc A, B:

Matica A Matica B

Ak determinant matice je nenulový, tak daná sústava má práve jedno riešenie. A ako určíme determinant matice A?

Určenie determinantu matice A
1.4.(-3) + (-1).1.3 + (-2).2.(-2) (-2.4.3 + 1.1.(-2) + (-1).2.(-3)) = 13

Následne určíme determinanty D1, D2, D3 potrebné pre určenie neznámych. Tieto determinanty získame nahradením príslušného stĺpca determinantu stĺpcom matice B.

D_1 = \begin{vmatrix} 2 & -1 & -2 \\ 1 & 4 & 1 \\ -1 & -2 & -3 \end{vmatrix} = -24 + 1 + 4 - (8 - 4 + 3) = -26

D_2 = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & -3 \end{vmatrix} = -3 + 6 + 4 - (-6 - 1 - 12) = 26

D_3 = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & -2 & -1 \end{vmatrix} = -4 - 3 - 8 - (24 - 2 + 2) = -39

Neznáme x, y, z získame nasledovne:

x = \frac{D_1}{D} = \frac{-26}{13} = -2\\ y = \frac{D_2}{D} = \frac{26}{13} = 2\\ z = \frac{D_3}{D} = \frac{-39}{13} = -3

Skúšku správnosti vykonáme dosadením vypočítaných hodnôt do všetkých troch rovníc.

Riešením danej sústavy rovníc je usporiadaná trojica [x,y,z]=[-2; 2; -3].

Príklad 4:

Riešte sústavu rovníc s neznámymi abc ∈ R Cramerovym pravidlom:

\begin{matrix}3a-b+c&=&5\\5a-2b-3c&=&4\\-2a+3b+2c&=&-3\\\end{matrix}

Riešenie:

Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica [a; b; c] = [ ; ; ].

Kontrola Správne riešenie      

Rudolf Zrebný

Učiteľ matematiky a informatiky at Obchodná akadémia, Veľká okružná 32, Žilina
Som obyčajný človek, ktorý má rád matematiku. Aj to je dôvod, prečo som sa stal učiteľom matematiky a vo voľných chvíľach pracujem na webe pohodovamatematika.sk. Časť voľného času venujem tvorbe webových stránok a bicyklovaniu v prírode. Inak sa snažím väčšinu dňa prežiť s mojou krásnou rodinkou.

Latest posts by Rudolf Zrebný (see all)