Sústavy dvoch lineárnych rovníc s dvomi neznámymi

Rovnicu tvaru ax + by = c, kde a ≠ 0 alebo b ≠ 0 nazývame lineárnou rovnicou s dvoma neznámymi x, y.

Dvojicu čísel x0 a y0 nazývame riešením vyššie uvedenej rovnice, ak platí:

ax0 + by0 = c

Rovnice tvaru

ax + by = c, kde a ≠ 0 alebo b ≠ 0
dx + ey = f, kde d ≠ 0 alebo e ≠ 0

nazývame sústavou dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi x, y.

Dvojicu čísel x0 a y0 nazývame riešením vyššie uvedenej sústavy rovníc, ak platí:

ax0 + by0 = c a zároveň dx0 + ey0 = f

Pri riešení sústavy dvoch rovníc s dvoma neznámymi využívame 3 metódy:

  1. dosadzovaciu (substitučnú) metódu;
  2. sčítaciu (adičnú) metódu;
  3. porovnávaciu (komparačnú) metódu.

Dosadzovacia (substitučná) metóda:

Táto metóda spočíva v tom, že z jednej rovnice si vyjadríme jednu neznámu a výraz ktorý takto dostaneme, dosadíme za túto neznámu do druhej rovnice.

Takto dostaneme rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime. Následne dosadením vypočítame i druhú neznámu.

Ukážme si to radšej na jednoduchom príklade.

Príklad 1:

Riešte sústavu rovníc

2x – 3y = 5
x – 2y = 1

s neznámymi x, y ∈ R.

Riešenie:

Z prvej rovnice si vyjadríme napr. neznámu x:

2x – 3y = 5 / +3y
2x = 5 + 3y /:2
x = 5/2 + 3/2y

Výraz, ktorý sme získali dosadíme do druhej rovnice za neznámu x:

5/2 + 3/2y – 2y = 1

Získali sme lineárnu rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime:

5/2 + 3/2y – 2y = 1 /.2
5 + 3y – 4y = 2
5 – y = 2 /-5
y = -3 /·(-1)
y = 3

Získanú neznámu dosadíme do upravenej 1. rovnice a vypočítame neznámu x:

x = 5/2 + 3/2 . 3 = 5/2 + 9/2 = 14/2 = 7

Skúšku správnosti robíme dosadením vypočítaných hodnôt neznámych do obidvoch rovníc:

Ľ1 = 2 ∈ 7 – 3 ∈ 3 = 14 – 9 = 5
P1 = 5
Ľ1 = P1

Ľ2 = 7 – 2 ∈ 3 = 1
P2 = 1
Ľ2 = P2

Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica [x; y] = [7; 3].


Vyskúšate teraz vy? Tak poďme na to!

Príklad 2:

Riešte sústavu rovníc

3a – 5b = 1
4a – 3b = 5

s neznámymi a, b ∈ R dosadzovacou metódou.

Riešenie:

Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica [a; b] = [; ].

Kontrola Správne riešenie      

Sčítacia (adičná) metóda:

Táto metóda spočíva v tom, že každú rovnicu po úprave na základný tvar napr. 2x+3y=4 vhodne násobíme tak, aby po sčítaní oboch rovníc jedna neznáma „vypadla“.

Takto dostaneme rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime. Pri „čistej“ sčítacej metóde to isté vykonáme i s druhou neznámou. V praxi je často využívaná kombinásia sčítacej a dosadzovacej metódy, čiže jednu neznámu určíme sčítacou metódou a druhú dosadením už známej hodnoty do niektorej z rovníc.

I túto metódu si radšej ukážeme na konkrétnom príklade.

Príklad 3:

Riešte sústavu rovníc

2x – 3y = 5
x – 2y = 1

s neznámymi x, y ∈ R.

Riešenie:

Chceme určiť napr. neznámu x, teda potrebujeme, aby „vypadla“ neznáma y. Násobíme teda prvú rovnicu číslom -2 a druhú rovnicu číslom 3.

2x – 3y = 5 / · (-2)
x – 2y = 1 / · 3

-4x + 6y = -10
3x – 6y = 3
Teraz obe rovnice sčítame:
-4x + 3x + 6y – 6y = 3 – 10
x = – 7 / · (-1)
x = 7

Ak chceme kombinovať sčítaciu a dosadzovaciu metódu, tak hodnotu neznámej x, ktorú sme získali, dosadíme napr. do druhej rovnice za neznámu x:

7 – 2y = 1 a z toho y = 3.

Skúšku správnosti robíme dosadením vypočítaných hodnôt neznámych do obidvoch rovníc:

Ľ1 = 2 ∈ 7 – 3 ∈ 3 = 14 – 9 = 5
P1 = 5
Ľ1 = P1

Ľ2 = 7 – 2 ∈ 3 = 1
P2 = 1
Ľ2 = P2

Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica [x; y] = [7; 3].


Vyskúšate si aj sčítaciu metódu?

Príklad 4:

Riešte sústavu rovníc

5c – 3d = 1
c – 7d = 15

s neznámymi c, d ∈ R kombináciou sčítacej a dosadzovacej metódy.

Riešenie:

Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica [c; d] = [; ].

Kontrola Správne riešenie      

Porovnávacia (komparačná) metóda:

Táto metóda spočíva v tom, že z oboch rovníc si vyjadríme tú istú neznámu.

Získané výrazy porovnáme a tak dostaneme rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime. Následne dosadením vypočítame i druhú neznámu.

Vypočítajme radšej jednoduchý príklad.

Príklad 5:

Riešte sústavu rovníc

2x – 3y = 5
x – 2y = 1

s neznámymi x, y ∈ R.

Riešenie:

Z prvej rovnice si vyjadríme napr. neznámu x:

2x – 3y = 5 / +3y
2x = 5 + 3y /:2
x = 5/2 + 3/2y

Z druhej rovnice si vyjadríme tiež neznámu x:

x – 2y = 1 / +2y
x = 1 + 2y

Keďže sa rovnajú ľavé strany oboch rovníc, tak sa rovnajú i pravé strany týchto rovníc, takže vytvoríme rovnicu P1=P2, ktorú vyriešime:

1 + 2y = 5/2 + 3/2y / · 2
2 + 4y = 5 + 3y / – 2 – 3y
y = 3

Získanú hodnotu premennej y dosadíme napr. do upravenej druhej rovnice:

x = 1 + 2 · 3 = 7

Skúšku správnosti robíme dosadením vypočítaných hodnôt neznámych do obidvoch rovníc podobne ako v príklade 1 a 3.

Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica [x; y] = [7; 3].


Príklad 6:

Riešte sústavu rovníc

-3x + 2y = 0
5x – 7y = -11

s neznámymi x, y ∈ R porovnávacou metódou.

Riešenie:

Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica [x; y] = [; ].

Kontrola Správne riešenie      

Rudolf Zrebný

Som obyčajný človek, ktorý má rád matematiku. Aj to je dôvod, prečo som sa stal učiteľom matematiky a vo voľných chvíľach pracujem na webe pohodovamatematika.sk. Časť voľného času venujem tvorbe webových stránok a bicyklovaniu v prírode. Inak sa snažím väčšinu dňa prežiť s mojou krásnou rodinkou.