Integrály – vzorce, príklady a vysvetlenia

Integrál patrí medzi základné pojmy vyššej matematiky. Najčastejšie sa s ním stretávame pri výpočte obsahu plochy, dráhy, práce, množstva látky alebo pri riešení úloh z fyziky, ekonómie a techniky.

Na strednej škole sa venujeme najmä neurčitému integrálu, ktorý úzko súvisí s deriváciou. Kým derivácia odpovedá na otázku „ako rýchlo sa niečo mení“, integrál odpovedá na otázku „z akej funkcie táto zmena pochádza“.

Čo je neurčitý integrál

Neurčitý integrál je opačná operácia k derivovaniu.

Ak platí:

$$F'(x) = f(x),$$potom hovoríme, že:

$$\int f(x)\,\mathrm{d}x = F(x) + C.$$Symbol $C$ predstavuje integračnú konštantu, pretože derivácia konštanty je vždy nula.

Jednoduchá ukážka

Derivácia funkcie $x^2$ je $2x$, preto:

$$\int 2x\,\mathrm{d}x = x^2 + C.$$

---

Neurčitý integrál – základné vzorce a riešené príklady

teraz si prehľadne uvedieme základné integračné vzorce, ktoré je potrebné ovládať naspamäť a ku každému z nich si ukážeme viacero príkladov s postupom.

$$\int x^a\,dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + c,\quad a \in \mathbb{R}\setminus\{-1\}$$$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + c$$$$\int e^x\,dx = e^x + c$$$$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + c,\quad a \in (0,1)\cup(1,\infty)$$$$\int \sin x\,dx = -\cos x + c$$$$\int \cos x\,dx = \sin x + c$$$$\int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx = \tg x + c$$$$\int \frac{1}{\sin^2 x}\,dx = -\cotg x + c$$$$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \begin{cases} \arctg x + c \\ -\arcctg x + c \end{cases}$$$$\int \frac{1}{1-x^2}\,dx = \frac12 \ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right| + c$$$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \begin{cases} \arcsin x + c \\ -\arccos x + c \end{cases}$$$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a}}\,dx = \ln\left|x+\sqrt{x^2+a}\right| + c$$$$\int \sinh x\,dx = \cosh x + c$$$$\int \cosh x\,dx = \sinh x + c$$$$\int \frac{1}{\cosh^2 x}\,dx = tgh x + c$$$$\int \frac{1}{\sinh^2 x}\,dx = -cotgh x + c$$$$\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln|f(x)| + c$$

1. Integrál mocninovej funkcie

$$\int x^a\,dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + c,\quad a \neq -1$$

Príklad

$$\int x^4\,dx$$Vidíme mocninovú funkciu. Pri integrácii mocniny vždy zvýšime exponent o 1 a vydelíme novým exponentom. Tento postup vychádza z opačnej operácie k derivácii.

Príklad

$$\int x^{-3}\,dx$$Aj záporný exponent je stále mocnina. Postup je rovnaký, len pracujeme so zlomkami. Exponent zvýšime o 1 a výsledok vydelíme týmto číslom.

2. Integrál funkcie $\frac{1}{x}$​

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + c$$

Príklad

$$\int \frac{1}{x}\,dx$$Tento integrál nemožno riešiť pomocou mocninového vzorca, pretože by sme delili nulou. Preto má vlastný vzorec s logaritmom.

Príklad

$$\int \frac{5}{x}\,dx$$Konštantný násobok môžeme vytknúť pred integrál. Samotný tvar $\frac{1}{x}$x1​ vedie vždy na logaritmus.

3. Integrál exponenciálnej funkcie $e^x$

$$\int e^x\,dx = e^x + c$$

Príklad

$$\int e^x\,dx$$Exponenciálna funkcia so základom $e$ je výnimočná tým, že jej derivácia je rovnaká funkcia. Preto sa pri integrácii tvar nemení.

Príklad

$$\int 3e^x\,dx$$Číslo 3 je konštanta, ktorú vytkneme pred integrál. Samotný integrál zostáva nezmenený.

4. Integrál exponenciálnej funkcie $a^x$

$$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + c,\quad a>0,\ a\neq1$$

Príklad

$$\int 2^x\,dx$$Ide o exponenciálnu funkciu so základom rôznym od $e$. Preto sa vo výsledku objaví prirodzený logaritmus základu.

5. Integrály goniometrických funkcií

$$\int \sin x\,dx = -\cos x + c$$$$\int \cos x\,dx = \sin x + c$$

Príklad

$$\int \sin x\,dx$$∫sinxdx

Vieme, že derivácia funkcie $-\cos x$ je práve $\sin x$. Preto sa pri integrácii objaví mínus.

Príklad

$$\int \cos x\,dx$$Derivácia funkcie $\sin x$ je $\cos x$, takže integrál má tento tvar.

---

6. Integrály funkcií s druhou mocninou goniometrických funkcií

$$\int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx = \tg x + c$$$$\int \frac{1}{\sin^2 x}\,dx = -\cotg x + c$$

Príklad

$$\int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx$$Výraz $\frac{1}{\cos^2 x}$​ poznáme ako $\sec^2 x$, čo je derivácia funkcie $\tg x$.

7. Integrál typu $\frac{1}{1+x^2}$

$$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctg x + c$$

Príklad

$$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx$$Tento tvar je typický pre deriváciu arkustangens. Preto sa výsledok zapisuje pomocou inverznej goniometrickej funkcie.

8. Integrál typu $\frac{1}{1-x^2}$​

$$\int \frac{1}{1-x^2}\,dx = \frac12 \ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right| + c$$

Príklad

$$\int \frac{1}{1-x^2}\,dx$$Menovateľ vieme rozložiť na súčin $(1-x)(1+x)$, čo vedie k logaritmickému výsledku.

9. Integrál typu $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$​

$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \arcsin x + c$$

Príklad

$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$$Tento tvar poznáme z derivácie funkcie $\arcsin x$.

10. Integrál typu $\frac{1}{\sqrt{x^2+a}}$​

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a}}\,dx = \ln|x+\sqrt{x^2+a}| + c$$

Príklad

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+4}}\,dx$$Výsledok má logaritmický tvar, ktorý sa často používa pri úlohách z fyziky a techniky.

11. Hyperbolické funkcie

$$\int \sinh x\,dx = \cosh x + c$$$$\int \cosh x\,dx = \sinh x + c$$

Príklad

$$\int \sinh x\,dx$$Hyperbolické funkcie sa správajú podobne ako goniometrické, len bez znamienok mínus.

12. Hyperbolické funkcie v menovateli

$$\int \frac{1}{\cosh^2 x}\,dx = tgh x + c$$$$\int \frac{1}{\sinh^2 x}\,dx = -cotgh x + c$$

Príklad

$$\int \frac{1}{\cosh^2 x}\,dx$$Ide o deriváciu hyperbolického tangens.

13. Integrál typu $\frac{f'(x)}{f(x)}$f(x)f′(x)​

$$\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln|f(x)| + c$$

Príklad

$$\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx$$Čitateľ je deriváciou menovateľa. Tento tvar vždy vedie na logaritmus.

Neurčitý integrál – príklady na precvičenie s výsledkami

Najskôr sa pokúste vyriešiť integrály samostatne, pod sadou príkladov sa nachádzajú výsledky, zobrazíte ich kliknutím na tlačidlo Zobraziť výsledky.

Príklad 1

$$\int x^3\,dx$$Príklad 2

$$\int x^{-2}\,dx$$Príklad 3

$$\int \sqrt{x}\,dx$$Príklad 4

$$\int x^{\frac{5}{2}}\,dx$$Príklad 5

$$\int \frac{1}{x}\,dx$$Príklad 6

$$\int \frac{4}{x}\,dx$$Príklad 7

$$\int -\frac{3}{x}\,dx$$Príklad 8

$$\int \left(\frac{1}{x}+2\right)\,dx$$Príklad 9

$$\int e^x\,dx$$Príklad 10

$$\int 5e^x\,dx$$Príklad 11

$$\int -e^x\,dx$$Príklad 12

$$\int (e^x+3)\,dx$$Príklad 13

$$\int 2^x\,dx$$Príklad 14

$$\int 3^x\,dx$$Príklad 15

$$\int 5\cdot 2^x\,dx$$Príklad 16

$$\int (2^x+1)\,dx$$Príklad 17

$$\int \sin x\,dx$$Príklad 18

$$\int -\sin x\,dx$$Príklad 19

$$\int \cos x\,dx$$Príklad 20

$$\int 3\cos x\,dx$$Príklad 21

$$\int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx$$Príklad 22

$$\int \frac{2}{\cos^2 x}\,dx$$Príklad 23

$$\int \frac{1}{\sin^2 x}\,dx$$Príklad 24

$$\int -\frac{3}{\sin^2 x}\,dx$$Príklad 25

$$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx$$Príklad 26

$$\int \frac{4}{1+x^2}\,dx$$Príklad 27

$$\int -\frac{1}{1+x^2}\,dx$$Príklad 28

$$\int \left(\frac{1}{1+x^2}+1\right)\,dx$$Príklad 29

$$\int \frac{1}{1-x^2}\,dx$$Príklad 30

$$\int \frac{2}{1-x^2}\,dx$$Príklad 31

$$\int -\frac{1}{1-x^2}\,dx$$Príklad 32

$$\int \left(\frac{1}{1-x^2}+3\right)\,dx$$Príklad 33

$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$$Príklad 34

$$\int \frac{3}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$$Príklad 35

$$\int -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$$Príklad 36

$$\int \left(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+2\right)\,dx$$Príklad 37

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\,dx$$Príklad 38

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+4}}\,dx$$Príklad 39

$$\int \frac{3}{\sqrt{x^2+9}}\,dx$$Príklad 40

$$\int \left(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}+1\right)\,dx$$Príklad 41

$$\int \sinh x\,dx$$Príklad 42

$$\int 4\sinh x\,dx$$Príklad 43

$$\int \cosh x\,dx$$Príklad 44

$$\int -\cosh x\,dx$$Príklad 45

$$\int \frac{1}{\cosh^2 x}\,dx$$Príklad 46

$$\int \frac{3}{\cosh^2 x}\,dx$$Príklad 47

$$\int \frac{1}{\sinh^2 x}\,dx$$Príklad 48

$$\int -\frac{2}{\sinh^2 x}\,dx$$Príklad 49

$$\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx$$Príklad 50

$$\int \frac{3x}{x^2+4}\,dx$$Príklad 51

$$\int \frac{5x}{x^2}\,dx$$Príklad 52

$$\int \frac{4x}{x^2-1}\,dx$$

Neurčitý integrál – výsledky

Zobraziť výsledky