Zložené výroky

Zložené výroky vytvárame z jednoduchých výrokov použitím výrokových (logických) operácií pomocou logických spojok:

∧, ∨, ⇒, ⇔

Pojmy logické operácie a logické spojky sú často stotožňované. My si teraz predstavíme najdôležitejšie z nich.

Výrokové operácie:

a) disjunkcia (alternatíva) Označenie: ∨ (čítame „alebo“)

p: Zajtra je sobota. q: Mám 15 rokov. p ∨ q: Zajtra je sobota alebo mám 15 rokov.

Disjunkcia dvoch výrokov je pravdivá práve vtedy, ak aspoň jeden výrok je pravdivý.

b) konjunkcia Označenie: ∧ (čítame „a“)

p: Zajtra je piatok. q: Číslo 7 je prvočíslo. p ∧ q: Zajtra je piatok a číslo 7 je prvočíslo.

Konjunkcia dvoch výrokov je pravdivá práve vtedy, ak obidva výroky sú pravdivé.

c) implikácia Označenie: ⇒ (čítame „ak … tak“, „implikuje“, „vyplýva“)

p: Zajtra je piatok. q: Som Slovák. p ⇒ q: Ak zajtra je piatok, tak som Slovák.

Implikácia dvoch výrokov je nepravdivá práve vtedy, keď prvý výrok je pravdivý a druhý nepravdivý.

Napríklad: p: Som nižší ako 3 metre.(1) q: Mám 150 rokov (0)

p ⇒ q: „Ak som nižší ako 3 m, tak mám 150 rokov.“, je nepravdivý výrok,

ale q ⇒ p: „Ak mám 150 rokov, tak som nižší ako 3 m.“ je pravdivý výrok.

d) ekvivalencia Označenie: ⇔ (čítame „práve vtedy“,“vtedy a len vtedy“, „ekvivalentné“)

p: Číslo je deliteľné 10-mi. q: Posledná číslica čísla je 0. p ⇔ q: Číslo je deliteľné 10-mi práve vtedy, ak posledná číslica čísla je 0.

Ekvivalencia dvoch výrokov je pravdivá práve vtedy, ak oba výroky,majú rovnakú pravdivostnú hodnotu.

e) negácia Označenie: ‚ alebo ¬ (čítame „nie je pravda“,“neplatí“)

p: Dnes je piatok. q‘: Dnes nie je piatok. Nie je pravda, že dnes je piatok.

Negácia jednoduchého výroku:

p: Peter mal úraz. q: Zajtra je piatok.
p‘: Peter nemal úraz. q‘: Zajtra nie je piatok.

Negácia zloženého výroku:

Konjunkcia
V: Dnes prší a zem je mokrá. A∧B
V‘: Dnes neprší alebo zem nie je mokrá. A’∨B‘
Alternatíva
V: Dnes prší alebo zem je mokrá. A∨B
V‘: Dnes neprší a zem nie je mokrá. A’∧B‘
Implikácia
V: Ak dnes prší, tak zem je mokrá. A⇒B
V‘: Dnes prší a zem nie je mokrá. A∧B‘
Ekvivalencia
V: Dnes prší vtedy a len vtedy,keď zem je mokrá. A⇔B
V‘: Dnes prší a zem nie je mokrá alebo dnes neprší a zem je mokrá. (A∧B‘)∨(A’∧B)

Ak pôvodný výrok bol pravdivý, jeho negácia bude nepravdivá. Ak pôvodný výrok bol nepravdivý, jeho negácia bude pravdivá.


Všeobecná tabuľka pravdivostných hodnôt:

P(p) P(q) P(pp) P(pp) P(pp) P(pp)
1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 0 0
0 1 0 1 1 0
0 0 0 0 1 1

Rudolf Zrebný

Som obyčajný človek, ktorý má rád matematiku. Aj to je dôvod, prečo som sa stal učiteľom matematiky a vo voľných chvíľach pracujem na webe pohodovamatematika.sk. Časť voľného času venujem tvorbe webových stránok a bicyklovaniu v prírode. Inak sa snažím väčšinu dňa prežiť s mojou krásnou rodinkou.