Obsah článku:
Zložené výroky vytvárame z jednoduchých výrokov použitím výrokových (logických) operácií pomocou logických spojok:
∧, ∨, ⇒, ⇔
Pojmy logické operácie a logické spojky sú často stotožňované. My si teraz predstavíme najdôležitejšie z nich.
Výrokové operácie:
a) disjunkcia (alternatíva) Označenie: ∨ (čítame „alebo“)
p: Zajtra je sobota. q: Mám 15 rokov. p ∨ q: Zajtra je sobota alebo mám 15 rokov.
Disjunkcia dvoch výrokov je pravdivá práve vtedy, ak aspoň jeden výrok je pravdivý.
b) konjunkcia Označenie: ∧ (čítame „a“)
p: Zajtra je piatok. q: Číslo 7 je prvočíslo. p ∧ q: Zajtra je piatok a číslo 7 je prvočíslo.
Konjunkcia dvoch výrokov je pravdivá práve vtedy, ak obidva výroky sú pravdivé.
c) implikácia Označenie: ⇒ (čítame „ak … tak“, „implikuje“, „vyplýva“)
p: Zajtra je piatok. q: Som Slovák. p ⇒ q: Ak zajtra je piatok, tak som Slovák.
Implikácia dvoch výrokov je nepravdivá práve vtedy, keď prvý výrok je pravdivý a druhý nepravdivý.
Napríklad: p: Som nižší ako 3 metre.(1) q: Mám 150 rokov (0)
p ⇒ q: „Ak som nižší ako 3 m, tak mám 150 rokov.“, je nepravdivý výrok,
ale q ⇒ p: „Ak mám 150 rokov, tak som nižší ako 3 m.“ je pravdivý výrok.
d) ekvivalencia Označenie: ⇔ (čítame „práve vtedy“,“vtedy a len vtedy“, „ekvivalentné“)
p: Číslo je deliteľné 10-mi. q: Posledná číslica čísla je 0. p ⇔ q: Číslo je deliteľné 10-mi práve vtedy, ak posledná číslica čísla je 0.
Ekvivalencia dvoch výrokov je pravdivá práve vtedy, ak oba výroky,majú rovnakú pravdivostnú hodnotu.
e) negácia Označenie: ‚ alebo ¬ (čítame „nie je pravda“,“neplatí“)
p: Dnes je piatok. q‘: Dnes nie je piatok. Nie je pravda, že dnes je piatok.
Negácia jednoduchého výroku:
| p: Peter mal úraz. | q: Zajtra je piatok. |
| p‘: Peter nemal úraz. | q‘: Zajtra nie je piatok. |
Negácia zloženého výroku:
| Konjunkcia | |
|---|---|
| V: Dnes prší a zem je mokrá. | A∧B |
| V‘: Dnes neprší alebo zem nie je mokrá. | A’∨B‘ |
| Alternatíva | |
|---|---|
| V: Dnes prší alebo zem je mokrá. | A∨B |
| V‘: Dnes neprší a zem nie je mokrá. | A’∧B‘ |
| Implikácia | |
|---|---|
| V: Ak dnes prší, tak zem je mokrá. | A⇒B |
| V‘: Dnes prší a zem nie je mokrá. | A∧B‘ |
| Ekvivalencia | |
|---|---|
| V: Dnes prší vtedy a len vtedy,keď zem je mokrá. | A⇔B |
| V‘: Dnes prší a zem nie je mokrá alebo dnes neprší a zem je mokrá. | (A∧B‘)∨(A’∧B) |
Ak pôvodný výrok bol pravdivý, jeho negácia bude nepravdivá. Ak pôvodný výrok bol nepravdivý, jeho negácia bude pravdivá.
Všeobecná tabuľka pravdivostných hodnôt:
| P(p) | P(q) | P(p∧p) | P(p∨p) | P(p⇒p) | P(p⇔p) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |