Zdroj zadaní príkladov: NIVAM – Národný inštitút vzdelávania a mládeže. Texty príkladov a grafické objekty boli prepisované a NIVAM nezodpovedá za chyby vzniknuté z tohto dôvodu. Autor riešenia príkladov je Ing. Rudolf Zrebný. Za správnosť riešenia, postupu nenesie zodpovednosť NIVAM, ale autor riešenia.
Monitor 2023 matematika
1. príklad
Zadanie:
V sčítacej pyramíde sa súčet čísel v susedných políčkach nachádza v políčku nad nimi. Ktoré číslo patrí v nasledujúcej sčítacej pyramíde na miesto otáznika?
Riešenie:
Označme si neznáme číslo susediace s otáznikom premennou x. Keďže súčet čísel v susedných políčkach sa nachádza v políčku nad nimi, tak musí platiť:
x + (-10) = 10
Vzniknutú rovnicu ľahko vyriešime:
x + (-10) = 10
x – 10 = 10 /+10
x = 20
Keďže už poznáme číslo v políčku vedľa otáznika, vieme si zapísať ďalšiu rovnosť:
? + 20 = -40
A riešime:
? + 20 = -40 /-20
? = -60
Odpoveď: -60
2. príklad
Zadanie:
Priemerná spotreba automobilu je 5,6 litra paliva na 100 kilometrov. Koľko litrov paliva sa pri priemernej spotrebe minulo, ak automobil prešiel 800 km? Výsledok uveď s presnosťou na desatiny.
Riešenie:
V tomto prípade ide o priamu úmernosť, čím viac kilometrov automobil prejde, tým väčšia bude spotreba paliva.
5,6 l …….. 100 km
x l …….. 800 km
5,6 ⋅ 800 = x ⋅ 100
4 480 = 100x /:100
x = 44,8 l
Odpoveď: 44,8
3. príklad
Zadanie:
Na obrázku je znázornený úložný box v tvare kvádra s rozmermi 42 cm, 24 cm a 24 cm vyplnený zhodnými kockami. Koľko kociek je spolu v úložnom boxe, ak v hornej vrstve vidíme 28 kociek?
Riešenie:
Pri pohľade zhora vidíme, že na dlhšiu hranu, šírku boxu (42 cm) sa „zmestí“ 7 kociek a na kratšiu (24 cm) 4 kocky. Keďže aj výška boxu je 24 cm, tak na výšku to budú tiež 4 kocky.
Počet kociek si môžeme predstaviť ako rozmer kvádra – 7 kociek x 6 kocky x 4 kocky.
Aby sme zistili počet kociek, ktoré sa do boxu zmestia, stačí vypočítať objem boxu – kvádra, ale nie v cm³, ale v kockách 😀
a = 7
b = 4
c = 4
V = ?
V = a ⋅ b ⋅ c
V = 7 ⋅ 4 ⋅ 4
V = 112
Odpoveď: 112
4. príklad
Zadanie:
Lenka ušetrila v januári 22 eur, vo februári 16 eur a v marci 21 eur. Koľko eur ušetrila v apríli, ak za tieto štyri mesiace ušetrila priemerne 20 eur mesačne?
Riešenie:
Priemernú hodnotu vypočítame ako „súčet hodnôt / počet hodnôt“.
V našom prípade:
priemerná hodnota = 20 € = (22 € + 16 € + 21 € + x €) / 4
20 = (59 + x)/4 /⋅4
80 = 59 + x /-59
x = 21 €
Odpoveď: 21
5. príklad
Zadanie:
Pozemok má pôdorys v tvare kosodĺžnika. Na pláne s mierkou 1 : 5 000 má jedna zo strán kosodĺžnika dĺžku 9 cm a priľahlá výška má 7 cm. Koľko hektárov zaberá pozemok v skutočnosti? Výsledok uveď s presnosťou na stotiny.
Riešenie:
Aby sme zistili, koľko hektárov zaberá pozemok, potrebujeme vypočítať skutočné rozmery pozemku.
mierka …. 1:5000
na mape:
a = 9 cm
va = 7 cm
v skutočnosti:
a = 9 ⋅ 5000 = 45 000 cm = 450 m
va = 7 ⋅ 5000 = 35 000 cm = 350 m
S = a ⋅ va = 450 ⋅ 350 = 157 500 m² = 15,75 ha
Odpoveď: 15,75
6. príklad
Zadanie:
Marta sa oblieka do školy. Chce si obliecť sukňu, tričko a obuť tenisky. V skrini má 3 sukne rôznej dĺžky, 5 tričiek rôznej farby a 4 páry tenisiek z rôzneho materiálu. Koľkými rôznymi spôsobmi sa Marta môže obliecť a obuť?
Riešenie:
Ku každej sukni si môže obliecť ľubovoľné tričko a obuť ľubovoľné tenisky. Využijeme kombinatorické pravidlo súčinu:
3 ⋅ 5 ⋅ 4 = 60
Odpoveď: 60
7. príklad
Zadanie:
Vypočítaj v stupňoch veľkosť ostrého uhla, ktorý zvierajú ručičky hodín o pol šiestej.
Riešenie:
Malá ručička je „vzdialená“ od veľkej ručičky 2,5 dielika (celý ciferník obsahuje 60 dielikov – minút).
celý ciferník (plný uhol) …. 360°
„1 dielik“ …. 360 : 60 = 6°
2,5 dielika …. 2,5 ⋅ 6 = 15°
Odpoveď: 15
Zadanie Knižnica
Pán Martin má v knižnici spolu 150 kníh. Roztriedil ich do piatich kategórií. Románov je 75, encyklopédií je 5-krát menej ako románov. Detských kníh má o 4 viac ako cestopisov. V kategórii „hobby“ si nechal 20 kníh.
Na zadanie Knižnica sa vzťahujú úlohy 8 a 9.
8. príklad
Zadanie:
Koľko cestopisov má pán Martin vo svojej knižnici?
Riešenie:
Spolu …. 150 kníh
románov … 75
encyklopédií … 5-krát menej ako románov … 75:5 = 15
cestopisov … x
detských kníh …. o 4 viac ako cestopisov … x + 4
hobby knihy …. 20
Teraz zostavíme a vyriešime rovnicu:
150 = 75 + 15 + x + x+4 + 20
150 = 114 + 2x /-114
36 = 2x /:2
x = 18
Odpoveď: 18
9. príklad
Zadanie:
Do jednej z kníh v kategórii „hobby“ si pán Martin odložil úspory. Jeho suseda zaujali práve knihy z tejto kategórie a chcel si nejakú z nich požičať. Aká je pravdepodobnosť, že si náhodou vyberie tú knihu, v ktorej mal pán Martin odložené úspory? Výsledok uveď zlomkom v základnom tvare.
Riešenie:
Vieme, že pravdepodobnosť udalosti vypočítame ako podiel priaznivých a všetkých možností.
priaznivé možnosti m … hobby kniha s úsporami … 1
všetky možnosti n … hobby knihy (lebo tie suseda zaujali) … 20
pravdepodobnosť p = m/n = 1/20
Odpoveď: 1/20
10. príklad
Zadanie:
Číselná os na obrázku je rozdelená na 8 zhodných úsekov. Bod A je obrazom reálneho čísla. Uveď toto číslo zlomkom v základnom tvare.
Riešenie:
1 z ôsmych úsekov predstavuje 1/4 z celého čísla 1. Keďže bod A je obrazom čísla „na 7. dieliku“, tak A = 7 ⋅ 1/4 = 7/4 
Odpoveď: 7/4
11. príklad
Zadanie:
Vypočítaj
1,5² + 1,6² + 1,7² =
Riešenie:
V tomto prípade je to jasné, druhé mocniny čísel 15, 16, 17 poznáme, v číslach je použité 1 desatinné miesto, a keďže „na druhú“, tak počet desatinných miest vynásobíme číslom 2 😉
1,5² + 1,6² + 1,7² = 2,25 + 2,56 + 2,89 = 7,70 = 7,7
Odpoveď: 7,7
12. príklad
Zadanie:
Mesačník o zdravej výžive bežne stojí 2,90 €. Pán Milan si objednal ročné predplatné, zaplatil zaň 29,50 €. Koľko eur ušetril kúpou predplatného?
Riešenie:
Najskôr zistíme, koľko by zaplatil pri pôvodnej cene:
2,9 ⋅ 12 = 34,80 €
Teraz už stačí len vypočítať rozdiel pôvodná cena – cena po zľave a zistíme, koľko ušetril:
34,80 – 29,50 = 5,30 €
Odpoveď: 5,30
13. príklad
Zadanie:
Osemuholník ABCDEFGH sa skladá z ôsmich zhodných trojuholníkov. Obsah tohto osemuholníka je 33,6 cm². Vypočítaj obsah časti vyfarbenej tmavou farbou. Výsledok uveď v cm².
Riešenie:
Keďže pravidelný osemuholník sa skladá z 8 zhodných častí, tak obsah jednej z nich vypočítame ľahko:
S = 33,6 cm²
obsah jednej časti = 33,6 : 8 = 4,2 cm²
Vyfarbené časti sú 3, preto ich obsah vypočítame:
4,2 ⋅ 3 = 12,6 cm²
Odpoveď: 12,6
Zadanie Pracovný stôl
Pracovná doska stola má byť umiestnená v rohu kancelárie. Jej podstava má tvar štvrťkruhu, pričom polomer kruhu je 90 cm. Hrúbka dosky je 2 cm.
Na zadanie Pracovný stôl sa vzťahujú úlohy 14 a 15
14. príklad
Zadanie:
Hrany pracovnej dosky sa upravia tak, že sa po celom obvode dosky nažehlí hranovacia páska. Koľko centimetrov hranovacej pásky sa spotrebuje na olemovanie jednej pracovnej dosky? Počítaj s hodnotou π = 3,14. Výsledok zaokrúhli na celé centimetre nahor.
Riešenie:
Je zrejmé, že množstvo nažehľovacej pásky v centimetroch je rovné obvodu stola. A ako vypočítať obvod stola? Pozrite sa na obrázok:
obvod stola = 90 + 90 + o:4, kde o je obvod kruhu
= 180 + (2⋅π⋅r):4
= 180 + (2⋅3,14⋅90):4
= 180 + 565,2:4
=180 + 141,3 = 321,3 čo zaokrúhlené na celé centimetre nahor predstavuje 322 cm
Odpoveď: 322
15. príklad
Zadanie:
Pracovné dosky sa vyrezávajú z dosiek s podstavou v tvare štvorca so stranou dĺžky 180 cm. Koľko percent tvorí odpad pri vyrezaní štyroch takýchto pracovných dosiek? Počítaj s hodnotou π = 3,14.
Riešenie:
Keďže z jednej dosky dokážeme vyrezať vždy iba 1 pracovnú dosku, počet dosiek na množstvo odpadu v % nemá vplyv.
100% ………….. obsah dosky v tvare štvorca
x% ………….. odpad, teda obsah štvorca – obsah kruhu
100% ………….. a⋅a = 180 ⋅ 180
x% ………….. a⋅a – π⋅r⋅r
100% ………….. 32 400 cm²
x% ………….. 32 400 – 3.14⋅90⋅90 = 32400-25434 = 6 966 cm²
100 ⋅ 6966 = x ⋅ 32400 /:32400
x = 696600 : 32400 = 21,5%
Odpoveď: 21,5
16. príklad
Zadanie:
Pani Klára má vo svojej banke povolené prečerpanie účtu. Aktuálne je na jej účte mínusový zostatok –125,80 €. Po pripísaní výplaty sa suma na jej účte zmenila na 721,50 €. Vypočítaj výšku výplaty pani Kláry v eurách.
A: 595,70
B: 606,70
C: 846,30
D: 847,30
Riešenie:
Výška výplaty je rozdielom aktuálnej sumy na účte a zostatku, preto:
výplata = 721,50 – (-125,80) = 721,50 + 125,80 = 847,30 €
Z možných riešení vyhovuje D.
Odpoveď: D
17. príklad
Zadanie:
Priamka k je rovnobežná s priamkou l. Priamka m je kolmá na priamku k. Priesečník priamok k a m označme A. Priesečník priamok l a m označme B. Priamka n je rôznobežná so všetkými predchádzajúcimi priamkami a priesečník priamok m a n neleží na úsečke AB. Priesečník priamok l a n označme C. Priesečník priamok k a n označme D. Na základe toho, čo vieme o vzájomnej polohe uvedených priamok, je štvoruholník ABCD
určite
A: obdĺžnik.
B: lichobežník.
C: kosodĺžnik.
D: štvorec.
Riešenie:
Poďme postupne podľa zadania (pozorne sledujte animáciu):
Je zrejmé, že štvoruholník ABCD je lichobežník.
Odpoveď: B
18. príklad
Zadanie:
Na obrázku sú 3 telesá. Hrana kocky je dlhá 3 cm. Kváder má dva rozmery rovnaké ako kocka, jeho tretí rozmer je 2-krát dlhší. Valec je rovnako vysoký ako kocka a priemer jeho podstavy je 3 cm.
Z týchto troch telies možno postaviť rôzne stavby. Predpokladajme, že kváder v stavbe je položený ako na obrázku. V nasledujúcich možnostiach sú uvedené pohľady zhora na niektoré z týchto stavieb. V ktorej možnosti je pohľad na stavbu z týchto troch telies, ktorá by určite nemohla mať práve dve poschodia?
Riešenie:
Odpoveď: D
Zadanie Heslo
Otec nechal synovi nasledujúci odkaz: „Ak chceš vedieť heslo na wifi, usporiadaj čísla od najmenšieho po najväčšie.“
Na zadanie Heslo sa vzťahujú úlohy 19 a 20.
19. príklad
Zadanie:
Ktoré heslo na wifi je správne?
A: LPMS B: MSPL C: PSLM D: SMPL
Riešenie:
Aby sme zistili heslo, potrebujeme usporiadať čísla od najmenšieho po najväčšie. Môžeme si napr. upraviť zlomky na desatinné čísla a následne už len usporiadať.
M = 4:3 = 1,33…
S = 5:4 = 1,25
P = 1,4
L = 1,5
usporiadané čísla …. 1,25; 1,33…; 1,4; 1,5
heslo je teda SMPL a správna odpoveď je D
Odpoveď: D
20. príklad
Zadanie:
Predpokladajme, že sa synovi nechcelo zoraďovať čísla do správneho poradia. Aká je pravdepodobnosť, že náhodne zadá správne heslo na prvý pokus? Výsledok zaokrúhli na desatiny.
A: 4,2%
B: 5,6%
C: 8,3%
D: 16,7%
Riešenie:
Pravdepodobnosť udalosti vypočítame ako podiel priaznivých možností a všetkých možností.
priaznivá možnosť je iba 1, lebo len 1 heslo je to správne
všetky možnosti vytvorenia hesla z písmen MPLS bez opakovania vypočítame napr. pomocou kombinatorického pravidla súčinu … 4⋅3⋅2⋅1 = 24
P = 1 : 24 = 0,416666 = 4,2%
správna je možnosť A
Odpoveď: A
21. príklad
Zadanie:
Jolana číta detektívku. Prečítala už 270 strán. Koľko strán má celá detektívka, ak Jolane do konca ostáva prečítať ešte dve pätiny knihy?
A: 162
B: 180
C: 450
D: 675
Riešenie:
všetkých strán ….. x
prečítala ….. 270 strán
zostáva prečítať ….. 2/5 knihy = 2/5 z x = 2/5 ⋅ x
Zostavíme rovnicu:
x = 270 + 2/5 ⋅ x /⋅5
5x = 1350 + 2x /-2x
3x = 1350 /:3
x = 450 strán … správna je možnosť C
Odpoveď: C
22. príklad
Zadanie:
Vypočítaj hodnotu y pre x = –2 podľa nasledujúcej schémy.
A: 9 B: -4 C: -6 D: -13
Riešenie:
Keďže -2 ≥ -5, budeme počítať podľa rovnosti vpravo:
y = -3 + 5⋅(-2) = -3 -10 = -13 … správna je možnosť D
Odpoveď: D
23. príklad
Zadanie:
Štyria súrodenci si sporia na spoločnú elektrickú kolobežku. Tomáš nasporil o 30 € viac než Eva, Roman 2-krát viac ako Eva a Soňa o 20 % viac ako Eva. Spolu už nasporili 290 €. Ktoré z nasledujúcich tvrdení je nesprávne?
A: Sestry nasporili menej ako ich bratia.
B: Bratia spolu nasporili 3-krát viac ako Soňa.
C: Tomáš nasporil o 20 € viac ako Roman.
D: Eva nasporila o 10 € menej ako Soňa.
Riešenie:
Eva … x €
Tomáš … o 30 € viac ako Eva … x+30
Roman … 2-krát viac ako Eva … 2x
Soňa … o 20% viac ako Eva … x + 20% z x = x + 0,2⋅x = 1,2x
spolu … 290 €
x + x+30 + 2x + 1,2x = 290
5,2x + 30 = 290 /-30
5,2x = 260 /:5,2
x = 50
Eva … 50 €
Tomáš … 50+30 = 80 €
Roman … 2⋅50 = 100 €
Soňa … 1,2⋅50 = 60 €
A: sestry … 110 €; bratia … 180 €; 110<180 ... tvrdenie je správne
B: bratia … 180 €; Soňa … 60 €; 180 = 3⋅60 … tvrdenie je správne
C: Tomáš … 80 €; Roman … 100 €; Tomáš si nasporil o 20 € menej ako Roman … tvrdenie C je teda nesprávne
Odpoveď: C
24. príklad
Zadanie:
Na číselnej osi je vyznačený obraz čísla a.
A: Ani jeden vzťah neplatí.
B: Platí 2., 4. a 5. vzťah.
C: Platí iba 1. a 3. vzťah.
Platí iba 2. a 4. vzťah.
Riešenie:
Je zrejmé, že 3 < a < 4. Pri overovaní platnosti vzťahov nám bude zvyčajne postačovať zápis a = 3,...
1. a-6 > 0
3,… – 6 > 0
-2,… > 0 neplatí
2. 4 – a > 0
4 – 3,… > 0
0,… > 0 platí
3. 5 – a < 0
5 – 3,… < 0
1,… < 0 neplatí
a – 16/3 < 0
3,,,, – 5,33 < 0
-1,… < 0 platí
-1 – a < 0
-1 – 3,… < 0
-4,… < 0 platí
Platia vzťahy 2., 4., 5., teda tvrdenie B je správne.
Odpoveď: B
25. príklad
Zadanie:
V štvorcovej sieti so stranou štvorca dlhou 1 cm sú znázornené 4 štvoruholníky, medzi ktorými je aj pravouhlý lichobežník. V ktorej možnosti je správne uvedený jeho obsah?
A: 18 cm² B: 17,5 cm² C: 15 cm² D: 13,5 cm²
Riešenie:
Pravouhlý lichobežník sa nachádza vpravo dole, stačí ho otočiť o 90° doľava a hneď ho zbadáte.
a = 5 cm
c = 2 cm
v = 5 cm
S = ? cm²
S = [(a + c)⋅v] : 2 = [(5+2)⋅5] : 2 = 35 : 2 = 17,5 cm² správna je možnosť B
Odpoveď: B
Zadanie Slovenské jaskyne
Správa slovenských jaskýň má na starosti ochranu a prevádzku trinástich sprístupnených jaskýň. Päť z nich je zároveň zapísaných do Zoznamu svetového kultúrneho a prírodného dedičstva UNESCO. V grafe je znázornený prehľad návštevnosti piatich vybraných jaskýň v rokoch 2016 – 2018.
V tabuľke sú uvedené základné údaje z roku 2018 týkajúce sa týchto jaskýň.
Na zadanie Slovenské jaskyne sa vzťahujú úlohy 26 a 27.
26. príklad
Zadanie:
Rozhodni o pravdivosti nasledujúcich dvoch tvrdení:
1. Len v jednej z vybraných jaskýň bola návštevnosť v roku 2018 nižšia ako v roku 2016.
2. Ochtinskú aragonitovú jaskyňu navštívilo počas sledovaného obdobia viac ako 120-tisíc návštevníkov.
A: Iba prvé tvrdenie je pravdivé.
B: Iba druhé tvrdenie je pravdivé.
C: Pravdivé sú obe tvrdenia.
D: Pravdivé nie je ani jedno tvrdenie.
Riešenie:
Keď sa pozrieme pozorne na graf, tak len v Jaskyni Domica bola návštevnosť v roku 2018 nižšia ako v roku 2016. Tvrdenie 1 teda platí.
Keďže Ochtinskú aragonitovú jaskyňu v každom z 3 sledovaných rokov navštívilo menej ako 40 000 návštevníkov, tak celková návštevnosť tejto jaskyne určite nepresiahla 120 000. Tvrdenie 2 je teda nepravdivé.
Z daných možností teda vyhovuje možnosť A: Iba prvé tvrdenie je pravdivé.
Odpoveď: A
27. príklad
Zadanie:
V ktorej z vybraných jaskýň návštevník nebol, ak počas prehliadok ostatných štyroch jaskýň nachodil spolu 2 315 m a na vstupnom zaplatil spolu 25 €?
A: Dobšinská ľadová jaskyňa
B: Jaskyňa Domica
C: Gombasecká jaskyňa
D: Jasovská jaskyňa
Riešenie:
Najskôr zistíme celkovú prehliadkovú trasu, ak by navštívil všetky jaskyne:
515 + 780 + 530 + 720 + 300 = 2 845 m
Vieme, že v skutočnosti prešiel 2315 m a jednu z jaskýň nenavštívil, preto dĺžku prehliadkovej trasy nenavštívenej jaskyne zistíme jednoducho tak, že od celkovej trasy odčítame trasu, ktorú prešiel:
2 845 – 2 315 = 530
A teraz sa do tabuľky pozrieme, ktorá jaskyňa vyhovuje – Gombasecká jaskyňa. Správna je možnosť C.
Odpoveď: C
Zadanie Vyvýšený zákon
Vyvýšený záhon má tvar kvádra. Jeho dno má rozmery 1,5 m a 90 cm. Výplň záhona tvoria 4 vrstvy tak, ako je znázornené na obrázku.
Na zadanie Vyvýšený zákon sa vzťahujú úlohy 28 a 29.
28. príklad
Zadanie:
Koľko centimetrov má výška vrstvy tvorenej substrátom a kompostom, ak pomer výšky tejto vrstvy a výšky vrstvy konárov je 5 : 8?
A: 40
B: 25
C: 46
D: 29
Riešenie:
Označme substrát a kompost …. SK a konáre iba K.
K = 40 cm
Vieme, že SK : K = 5 : 8
SK : 40 = 5 : 8
8⋅SK = 5⋅40
8⋅SK = 40 /:8
SK = 25 cm, takže správna je možnosť B.
Odpoveď: B
29. príklad
Zadanie:
V ktorej možnosti je správne uvedený objem vrstvy konárov vo vyvýšenom záhone?
A: 54 dm³ B: 5,4 m³ C: 540 l D: 0,54 hl
Riešenie:
Objem kvádra vypočítame podľa vzorca V = a . b . c
a = 1,5 m = 15 dm
b = 90 cm = 9 dm
výška vrstvy konárov c = 40 cm = 4 dm
V = 15 ⋅ 9 ⋅ 4 = 540 dm³ = 540 l, teda správna je možnosť C
Odpoveď: C
30. príklad
Zadanie:
Vypočítaj obsah pravouhlého trojuholníka ABC, ak poznáš obsah štvorca nad preponou BC a tiež obsah štvorca nad odvesnou AC.
A: 54 cm² B: 36 cm² C: 108 cm² D: 135 cm²
Riešenie:
Ak obsah štvorca nad preponou BC je 225 cm², tak |BC| = 15 cm, lebo 15²=225.
Podobne, ak obsah štvorca nad odvesnou AC je 81 cm², tak |AC| = 9 cm, lebo 9²=81.
Dĺžku odvesny AB zistíme pomocou Pytagorovej vety:
|AB|² = |BC|² – |AC|²
|AB|² = 225 – 81 = 144
|AB| = 12
Obsah pravouhlého trojuholníka vypočítame ako polovicu súčinu odvesien.
S = (9⋅12):2 = 108:2 = 54 cm², správna je možnosť A.