Príklad č. 1

Vypočítajte a výsledok zapíšte desatinným číslom zaokrúhleným na dve desatinné miesta.

Riešenie:

najskôr je potrebné nájsť spoločného menovateľa, čiže najmenší spoločný násobok čísel 4, 2, 6;
n(2, 4, 6) = 12;
potom podiel „spoločný menovateľ / menovateľ“ násobíme čitateľom, napr. 12 : 4 = 3, čiže zapíšeme 3 . 1;
následne čitateľ zjednodušíme;
zlomok 11/12 upravíme na desatinné číslo;
na mieste tisícin je číslica 6, tak zaokrúhlime smerom nahor;

Výsledok: 0,92

Príklad č. 2

Vypočítajte súčin číselných výrazov A a B, ak
A=10-(9-8)-(6-7)
B=4⋅10²+5⋅10+9

Riešenie:

A⋅B = (10-(9-8)-(6-7))⋅(4⋅10²+5⋅10+9)
= (10-(1)-(-1))⋅(4⋅100+50+9)
= (10-1+1)⋅(400+59)
= 10⋅459
= 4590

príklad môžeme riešiť tak, že najskôr si vypočítame hodnotu výrazov A a B a nakoniec ich vynásobíme;
nezabudnite, ak je „mínus“ pred zátvorkou, po odstránení zátvorky sa výraz vo vnútri zátvorky mení na opačný napr. -(-1) = +1 .

Výsledok: 4590

Príklad č. 3

Na základe informácií uvedených v tabuľke zistite, o koľko kilometrov je celková dĺžka zjazdoviek v Tatranskej Lomnici väčšia ako celková dĺžka zjazdoviek na Štrbskom Plese.

Lyžiarske stredisko	Dĺžka zjazdovky podľa obťažnosti
Lyžiarske stredisko	ľahká	stredne ťažká	ťažká
Tatranská Lomnica	5 350 m	5 190 m	1 240 m
Starý Smokovec	3 375 m	0 m	0 m
Štrbské Pleso	2 590 m	5 600 m	0 m

Riešenie:

zjazdovky v Tatranskej Lomnici ……….. 5 350 + 5 190 + 1 240 = 11 780 m
zjazdovky na Štrbskom Plese ……….. 2 590 + 5 600 + 0 = 8 190 m
hodnoty odčítame ……….. 11 780 – 8 190 = 3 590 m = 3,59 km
celková dĺžka zjazdoviek v Tatranskej Lomnici je o 3,59 km väčšia ako celková dĺžka zjazdoviek na Štrbskom Plese

Výsledok: 3,59

Príklad č. 4

Ktoré číslo je na číselnej osi rovnako vzdialené od čísel 299 a 1 051?

Riešenie:

hľadané číslo sa musí nachádzať v strede medzi číslami 299 a 1051, preto
najskôr odčítame dané čísla (väčšie číslo – menšie číslo)
1 051 – 299 = 752
následne dané číslo vydelíme dvomi
752 : 2 = 376
hľadané číslo získam pripočítaním výsledku k menšiemu z daných čísel
299 + 376 = 675
graficky:

Výsledok: 675

Zadanie: VÝSLEDKY TESTU

Žiaci 9.A triedy písali test, v ktorom mohol každý získať najviac 10 bodov. Rozdelenie žiakov 9. A triedy podľa počtu bodov získaných v teste je uvedené v nasledujúcej tabuľke.

Počet bodov	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Počet žiakov	0	1	0	0	1	2	1	6	5	4	5

K zadaniu VÝSLEDKY TESTU sa vzťahujú úlohy č. 5 a č. 6.

Príklad č. 5

Koľko žiakov 9. A triedy získalo v teste menej bodov, ako je priemerný počet bodov získaný všetkými žiakmi triedy?

Riešenie:

najskôr zistíme celkový počet bodov – b a celkový počet žiakov – ž
celkový počet bodov určíme tak, že postupne násobíme počet bodov a príslušný počet žiakov, výsledné hodnoty sčítame: b =1 + 1.1 + 2.0 + 3.0 + 4.1 + 5.2 + 6.1 + 7.6 + 8.5 + 9.4 + 10.5 = 0 + 1 + 0 + 0 + 4 + 10 + 6 + 42 + 40 + 36 + 50 = 189
počet žiakov zistíme jednoduchým sčítaním: ž = 1 + 1 + 2 + 1 + 6 + 5 + 4 + 5 = 25

Počet bodov	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	Spolu
Počet žiakov	1	0	0	1	2	1	6	5	4	5	25
Spolu body	1	0	0	4	10	6	42	40	36	50	189

priemerný počet bodov (p) = celkový počet bodov / počet žiakov p = 189 : 25 = 7,56
menej bodov ako je priemerný počet bodov získali žiaci, ktorí dosiahli maximálne 7 bodov, jednoducho ich sčítame 1 + 1 + 2 + 1 + 6 = 11

Výsledok: 11

Príklad č. 6

Adam získal 6 bodov. Údaje uvedené v tabuľke spracoval do stĺpcového diagramu. Stĺpec znázorňujúci počet žiakov s 10 bodmi mal výšku 7,5 cm. Vypočítajte, koľko centimetrov vysoký bol stĺpec znázorňujúci počet žiakov so 7 bodmi.

Riešenie:

Príklad môžeme riešiť trojčlenkou. Z grafu je zrejmé, že 10 bodov získalo 5 žiakov a 7 bodov 6 žiakov. Nebudeme teda počítať s hodnotami 10 a 7, ale s hodnotami 5 a 6. Trojčlenka: 5 ………………………… 7,5 cm 6 ………………………….. x cm 6 : 5 = x : 7,5 6 . 7,5 = 5x 45 = 5x 9 = x Iný spôsob: 10 bodov ……………… 5 dielikov grafu ……………………. 7,5 cm výška 1 dielika grafu …….. 7,5 : 5 = 1, 5 7 bodov ……………….. 6 dielikov grafu …………………… 1,5 . 6 = 9

Výsledok: 9

Príklad č. 7

Na obrázku sú znázornené 4 priamky a ich vzájomná poloha. Vypočítajte veľkosť uhla β v stupňoch.

Riešenie:

pre lepšie porozumenie si označme aj niektoré ďalšie uhly na obrázku

priamky a, b sú kolmé, preto α = 90°
uhly γ a uhol s veľkosťou 145°sú susedné, preto γ + 145° = 180° ⇒ γ = 180° – 145° = 35°

spôsob výpočtu uhla β:

uhol β je vonkajší uhol vyznačeného trojuholníka XYZ, pričom platí: β = α + γ = 90° + 35° = 125°

spôsob výpočtu uhla β:

dopočítame tretí uhol v trojuholníku 180° – α – γ = 180° – 90° – 35° = 55°
tento uhol je susedný s uhlom β, preto β = 180° – 55° = 125°

Výsledok: 125

Príklad č. 8

Najviac koľko kociek s hranou dĺžky 5 cm môže vložiť Lenka do škatule tvaru kocky s vnútornou hranou dĺžky 0,4 m?

Riešenie:

najskôr zistíme, koľkokrát sa „5 cm“ zmestí do „0,4 m“
0,4 m = 40 cm, 40 cm : 5 cm = 8, teda vznikne pomyselná kocka s hranou 8. Počet kociek v takom prípade predstavuje vlastne objem kocky, čiže jednoducho vypočítame V = a . a . a = 8 . 8 . 8 = 512

Iný spôsob:

počet malých kociek = (objem veľkej kocky) : (objem malej kocky) = (8 . 8 . 8) : (1 . 1 . 1) = 512

Výsledok: 512

Príklad č. 9

Vypočítajte obsah plášťa 5-bokého hranola, ak povrch hranola je 258 cm² a jedna podstava hranola má obsah 64,6 cm². Výsledok uveďte v cm² v tvare desatinného čísla.

Riešenie:

S – povrch, Sp – obsah podstavy, Spl – obsah plášťa, v – výška hranola S = 258 cm² S_p = 64,6 cm² S_pl = ? cm² S = S_pl + 2S_p 258 = S_pl + 2⋅64,6 258 = S_pl + 129,2 /-129,2 128,8 cm² = S_pl

Výsledok: 128,8

Príklad č. 10

Koľko je všetkých párnych dvojciferných čísel, ktoré sa dajú vytvoriť z číslic 2, 4 a 7? Číslice sa vo vytvorenom čísle môžu opakovať.

Riešenie:

párne dvojciferné číslo pozostáva z 2 cifier XX, pričom posledná z nich musí byť párna, teda 2 alebo 4, teda X2 alebo X4;
na 1. pozícii môže byť ľubovoľná z daných 3 cifier;
ku každej číslici na 1. pozícii môžem priradiť každú číslicu na 2. pozícii, preto počet všetkých párnych čísel zostavených z daných cifier získame ako súčin 3 . 2 = 6
alebo skúsime vymenovaním 22, 42, 72, 24, 44, 74
alebo stromovým diagramom

Výsledok: 6

Zadanie: Nákup darčekov

V tabuľke sú uvedené údaje o Milanových výdavkoch za darčeky v minulom roku.

K zadaniu Nákup darčekov sa vzťahujú úlohy č. 11 a 12.

Príklad č. 11

Ktorý kruhový diagram správne zobrazuje rozdelenie Milanových výdavkov za darčeky?

Riešenie:

najskôr si zistíme celkovú sumu za darčeky 50,50+35,00+25,50+39=150
potom určíme akú časť na celkovej sume tvoria jednotlivé darčeky: knihy a kozmetika: (50,50+35)/150=0,57=57% hračky: 25,50/150=0,17=17% oblečenie: 39/150=0,26=26%
z percentuálnych podielov je zrejmé, že knihy a kozmetika tvoria 57%, čo je viac ako polovica, tak zatiaľ vyhovujú možnosti C a D
suma za oblečenie je percentuálne väčšia časť ako suma za hračky, preto z C a D vyhovuje iba D

Výsledok: D

Príklad č. 12

Tento rok Milan plánuje znížiť výdavky za darčeky o 15% oproti minulému roku. Koľko eur plánuje Milan minúť na darčeky tento rok?
A: 127,50 €
B: 135,00 €
C: 148,50 €
D: 140,00 €

Riešenie:

najskôr si zistíme celkovú sumu za darčeky, ktoré Milan kúpil minulý rok 50,50+35,00+25,50+39=150
tento rok výdavky znižuje o 15%, čiže celkové tohtoročné výdavky budú predstavovať 85% z minuloročných, teda 85% z 150=0,85⋅150=127,5
alebo použijeme trojčlenku:

150 € ……………………… 100% x € ……………………… 15% x : 150 = 15 : 100 x . 100 = 150 . 15 100 . x = 2250 /:100 x = 22,5

Čiže tento rok minie Milan o 22,5 € menej.
tohtoročná suma za darčeky = 150 – 22,5 = 127,5 €

Výsledok: A

Príklad č. 13

13. Skupina troch dievčat vyhrala v prírodovednej súťaži 30 eur. Kamila, Magda a Zuzka si výhru rozdelili podľa svojich výkonov v pomere 3:4:5. Ktorá z možností je nesprávna?
A. Kamila a Magda majú spolu viac eur ako Zuzka.
B. Zuzka a Kamila majú spolu 20 €.
C. Magda a Zuzka majú spolu o 16 € viac ako Kamila.
D. Kamila má o 5 € menej ako Zuzka.

Riešenie:

pomer 3:4:5 znamená, že Kamila dostala 3 diely z 30 €, Magda 4 diely a Zuzka 5 dielov;
zistíme počet všetkých dielov: 3 + 4 + 5 = 12
zistíme koľko eur pripadá na 1 diel: 30 : 12 = 2,5 €
vypočítame koľko eur získali jednotlivé dievčatá:
- Kamila: 3 · 2,5 = 7,50 €
- Magda: 4 · 2,5 = 10 €
- Zuzka: 5 · 2,5 € = 12,50 €
teraz preveríme jednotlivé tvrdenia:
- tvrdenie A platí, lebo 7,50 + 10 > 12,5
- tvrdenie B platí, lebo 12,50 + 7,50 = 20
- tvrdenie C neplatí, lebo 10 + 12,50 nie je o 16 viac ako 7,50
- tvrdenie D platí, lebo 7,50 je o 5 menej ako 12,5

Výsledok: C

Príklad č. 14

Po zdražení o 40% stál zápisník 10,50 €. Koľko eur by stál tento zápisník, keby namiesto o 40% zdražel len o 20%.
A. 8,40 €
B. 9,00 €
C. 7,56 €
D. 8,75 €

Riešenie:

hodnota 10,50 € zodpovedá 140 %, keďže išlo o 40%-tné zdraženie
neznáma x prináleží 120 %, keďže by išlo o 20%-tné zdraženie
využijeme trojčlenku:

10,50 € …………………… 140% x € …………………… 120% x : 10,5 = 120 : 140 x . 140 = 10,50 . 120 140 . x = 1260 /:140 x = 9

Výsledok: B

Príklad č. 15

Ktoré číslo má tú vlastnosť, že keď ho zväčšíme o 7, dostaneme číslo, ktoré má rovnakú absolútnu hodnotu ako pôvodné číslo?
A. 3,5
B. -3,5
C. -7
D. -14

Riešenie:

rovnakú absolútnu hodnotu majú 2 navzájom opačné čísla, označme ich x a –x
na základe zadania vieme zapísať rovnicu x + 7 = -x, ktorú je jednoduché vyriešiť:

x + 7 = -x / +x – 7 2x = -7 / :2 x = -3,5

Výsledok: B

Príklad č. 16

Daný je štvorec s dĺžkou strany 6 cm a obdĺžnik s dĺžkami strán 5 cm a 4 cm. Žiaci vypočítali obvod a obsah daných útvarov a vyslovili dve tvrdenia.
1. Obvod štvorca je o 6 cm väčší ako obvod obdĺžnika.
2. Obsah štvorca je 1,8-krát väčší ako obsah obdĺžnika.
Posúďte pravdivosť týchto dvoch tvrdení a vyberte správnu možnosť.
A. Obidve tvrdenia sú pravdivé.
B. Prvé tvrdenie je pravdivé, druhé je nepravdivé.
C. Prvé tvrdenie je nepravdivé, druhé je pravdivé.
D. Obidve tvrdenia sú nepravdivé.

Riešenie:

najskôr vypočítame obvod a obsah štvorca so stranou a = 6 cm: o_š = 4 · a = 4 · 6 = 24 cm S_š = a · a = 6 · 6 = 36 cm²
potom vypočítame obvod a obsah obdĺžnika so stranami a = 5 cm a b = 4cm: o_o = 2 · a + 2 · b = 2 · 5 + 2 · 4 = 10 + 8 = 18 cm S_o = a · b = 5 · 4 = 20 cm²
preveríme 1. tvrdenie: o_š = o_o + 6 24 = 18 + 6 24 = 24 tvrdenie je pravdivé
preveríme 2. tvrdenie: S_š = 1,8 · S_o 36 = 1,8 · 20 36 = 36 tvrdenie je tiež pravdivé

Výsledok: A

Príklad č. 17

Anka si kúpila na výlet 1,5 litra minerálky a tri pätiny z nej vypila. Vyberte pravdivé tvrdenie.
A. Vypila menej ako polovicu.
B. Zostalo je 6dl minerálky.
C. Vypila viac ako 1 liter minerálky.
D. Zostali jej dve tretiny minerálky.

Riešenie:

vypočítame, koľko minerálky Anka vypila: 3/5 ⋅ 1,5 = 3/5 ⋅ 3/2 = 9/10 = 0,9
vypočítame, koľko jej zostalo: 1,5 – 0,9 = 0,6 l = 6 dl
pravdivosť tvrdenia B je zrejmá

Výsledok: B

Príklad č. 18

Dĺžky strán dvoch trojuholníkov sme zoradili podľa veľkosti: 8 cm,
10 cm, 13 cm, 15 cm, 17 cm, 19 cm. Jeden z týchto trojuholníkov je pravouhlý. Vypočítajte obvod tohto pravouhlého trojuholníka v centimetroch.
A. 31
B. 33
C. 40
D. 42

Riešenie:

v pravouhlom trojuholníku platí Pytagorova veta, teda a² + b² = c², kde a, b sú odvesny a c je prepona
zistíme teda druhé mocniny daných strán a budeme hľadať takú dvojicu, ktorej súčet sa bude rovnať ďalšej mocnine
8² = 64 10² = 100 13² = 169 15² = 225 17² = 289 19² = 361 vyhovujú nám hodnoty 64, 225 a 289, lebo 64 + 225 = 289
hľadaný pravouhlý trojuholník má teda dĺžky strán a = 8cm, b = 15cm, c = 17cm
ešte vypočítame jeho obvod: o = a + b + c = 8 + 15 + 17 = 40 cm

Výsledok: C

Príklad č. 19

Nad každou dvojicou vedľa seba zobrazených výrazov na obrázku je ich súčet. Zistite, ktorý výraz bude na najvyššom mieste na obrázku.
A. 2a + 3B. 9a + 1C. 6a + 9D. 2a + 9

Riešenie:

zostavíme si rovnice a postupne budeme dopočítavať jednotlivé výrazy

V₁ + 5a – 3 = 2 + 3a / -5a + 3 V₁ = 5 – 2a a + 2 + V₁ = V₂ a + 2 + 5 – 2a = V₂ 7 – a = V₂ V₂ + 2 + 3a = V 7 – a + 2 + 3a = V 2a + 9 = V

Výsledok: D

Príklad č. 20

Obsah štvoruholníka ABCD znázorneného v štvorcovej sieti sa rovná:
A: 22 cm²
B: 24 cm²
C: 28 cm²
D: 56 cm²

Riešenie:

štvoruholník ABCD pozostáva z 1 štvorca a 2 rovnakých trojuholníkov

štvorec pozostáva zo 16 štvorčekov a 2 trojuholníky vytvárajú obdĺžnik zložený z 12 štvorčekov
obsah štvoruholníka ABCD je teda 16 + 12 = 28 cm², keďže obsah 1 štvorčeka je 1 cm²
iným spôsobom je využitie vzorca pre výpočet obsahu lichobežníka S=((a+c)⋅v)/2

Výsledok: C

Zdroj zadaní príkladov: NIVAM – Národný inštitút vzdelávania a mládeže. Texty príkladov a grafické objekty boli prepisované a NIVAM nezodpovedá za chyby vzniknuté z tohto dôvodu. Autor riešenia príkladov je Ing. Rudolf Zrebný. Za správnosť riešenia, postupu nenesie zodpovednosť NIVAM, ale autor riešenia.

Vyriešený test z Testovania 9 – T9-2015

Príklad č. 1

Riešenie:

Výsledok: 0,92

Príklad č. 2

Riešenie:

Výsledok: 4590

Príklad č. 3

Riešenie:

Výsledok: 3,59

Príklad č. 4

Riešenie:

Výsledok: 675

Zadanie: VÝSLEDKY TESTU

Príklad č. 5

Výsledok: 11

Príklad č. 6

Výsledok: 9

Príklad č. 7

Výsledok: 125

Príklad č. 8

Výsledok: 512

Príklad č. 9

Výsledok: 128,8

Príklad č. 10

Výsledok: 6

Zadanie: Nákup darčekov

Príklad č. 11

Výsledok: D

Príklad č. 12

Výsledok: A

Príklad č. 13

Výsledok: C

Príklad č. 14

Výsledok: B

Príklad č. 15

Výsledok: B

Príklad č. 16

Výsledok: A

Príklad č. 17

Výsledok: B

Príklad č. 18

Výsledok: C

Príklad č. 19

Výsledok: D

Príklad č. 20

Výsledok: C