Rovnice s jednou neznámou

Nech f a g sú lineárne funkcie, ktorých definičné obory D(f) a D(g) a obory hodnôt sú H(f) a H(g) sú podmnožinami množiny reálnych čísel. Potom výrokovu formu

f(x) = g(x),

ktorá každému číslu x0∈D(f)∩D(g) priradí výrok f(x0) = g(x0), nazývame rovnica s jednou neznámou.

Rovnica je teda výroková forma, preto obsahuje aspoň jednu neznámu, ale rovnosť je výrok.

Napr. x2+2x=3x2-5x je rovnica, ale (-2)2+2(-2)=3(-2)2-5(-2) je rovnosť.

Ak uvažujeme o rovnici tvaru

f(x) = g(x),

tak výrazu f(x) hovoríme ľavá strana rovnice

a výrazu g(x) pravá strana rovnice.

Často sa môžeme vo všeobecnosti stretnúť i so zápisom L(x) = P(x).

Hodnoty neznámej xk, pre ktoré platí rovnosť L(xk)=P(xk) sa nazývajú korene (riešenia) rovnice.

Oborom riešenia rovnice nazývame množinu M, v ktorej hľadáme korene rovnice.

Definičným oborom rovnice nazývame podmnožinu množiny M, v ktorej sú definované obidva výrazy L(x), P(x) alebo prienik definičných oborov týchto výrazov. Označujeme ho D.

Množinu všetkých koreňov (riešení) rovnice označujeme K. Niekedy sa stretnete aj s označením P.

Platí: K ⊂ D ⊂ M


Príklad 1:

Riešte rovnicu 5x + 7 = 3 s neznámou x ∈ R.

Riešenie:

Obor riešenia M = R; definičný obor D = R; táto rovnica má v obore D práve jeden koreň x = –štyri pätiny alebo zapíšeme K = {-štyri pätiny}.

Ak by sme uvažovali obor riešenia M = Z; definičný obor D = Z; táto rovnica by v definičnom obore D nemala riešenie.


Príklad 2:

Riešte rovnicu x-1 = 2 s neznámou x∈R.

Riešenie:

Obor riešenia M = R; definičný obor D = <1;∞); táto rovnica má v obore D práve jeden koreň x = 5 alebo zapíšeme K = {5}.


Rudolf Zrebný

Som obyčajný človek, ktorý má rád matematiku. Aj to je dôvod, prečo som sa stal učiteľom matematiky a vo voľných chvíľach pracujem na webe pohodovamatematika.sk. Časť voľného času venujem tvorbe webových stránok a bicyklovaniu v prírode. Inak sa snažím väčšinu dňa prežiť s mojou krásnou rodinkou.