Riešenie lineárnych nerovníc

Lineárna nerovnica s neznámou x ∈ R je každá nerovnica tvaru ax + b < 0, ax + b ≤ 0, ax + b > 0, ax + b ≥ 0, kde a, b sú ľubovoľné reálne čísla.

Riešenie lineárnej nerovnice:

Nerovnicu upravíme tak, že odčítame b od oboch strán nerovnice, čím ju upravíme na tvar ax < -b, ax ≤ -b, ax > -b, ax ≥ -b. Pri riešení môžu potom nastať tri prípady:

Ak a < 0, potom z nerovnosti ax < -b dostaneme x > – b/a

resp. z nerovnosti ax > -b dostaneme x < – b/a;

Napr.

z -2x < -1 dostaneme x >  1/2
z -5x < 3 dostaneme x > – 3/5
z -7x > -5 dostaneme x <  5/7
z -3x > 8 dostaneme x < – 3/8

Ak a > 0, potom z nerovnosti ax > -b dostaneme x > – b/a

resp. z nerovnosti ax < -b dostaneme x < – b/a;

Napr.

z 5x < -3 dostaneme x < – 3/5
z 2x < 1 dostaneme x <  1/2
z 7x > 5 dostaneme x >  5/7
z 3x > -8 dostaneme x > – 3/8

Ak a 0 potom 0·x < –b alebo 0·x > –b . Táto nerovnica je splnená buď pre všetky x ∈ R alebo pre žiadne x ∈ R.

Ekvivalentné úpravy nerovníc:

  1. vzájomná výmena strán nerovnice so súčasnou zmenou znaku nerovnosti na obrátený;
  2. nahradenie ľubovoľnej strany nerovnice výrazom, ktorý sa jej rovná v celom obore riešenia nerovnice, pričom znak nerovnosti sa nezmení;
  3. pripočítaním toho istého čísla alebo výrazu s neznámou, ktorý je definovaný v celom obore riešenia, k obom stranám nerovnice, pričom znak nerovnosti sa nemení;
  4. vynásobenie oboch strán nerovnice kladným číslom alebo výrazom s neznámou, pričom znak nerovnosti sa nemení;
  5. vynásobenie oboch strán nerovnice záporným číslom nebo výrazom s neznámou, pritom znak nerovnosti sa zmení v obrátený;
  6. umocnenie oboch strán nerovnice prirodzeným mocniteľom, ak sú obe strany nerovnice nezáporné, pritom znak nerovnosti sa nemení;
  7. odmocnenie oboch strán nerovnice prirodzeným odmocniteľom, ak sú obe strany nerovnice nezáporné, pričom znak nerovnosti sa nemení;
  8. zlogaritmovaní oboch strán nerovnice pri tom istom základe väčšom ako 1, ak sú obe strany nerovnice kladné, pritom znak nerovnosti sa nemení.

Príklad 1:

Riešte nerovnicu Lineárna nerovnica s neznámou x ∈ R.

Riešenie:

Lineárna nerovnica

Teda množina riešení danej nerovnice je P = (-∞; -2>.


Rudolf Zrebný

Som obyčajný človek, ktorý má rád matematiku. Aj to je dôvod, prečo som sa stal učiteľom matematiky a vo voľných chvíľach pracujem na webe pohodovamatematika.sk. Časť voľného času venujem tvorbe webových stránok a bicyklovaniu v prírode. Inak sa snažím väčšinu dňa prežiť s mojou krásnou rodinkou.