Lineárna funkcia

Rudolf Zrebný 08. 07. 200903. 06. 2016

Lineárna funkcia je funkcia daná rovnicou y = ax + b , kde a, b sú reálne čísla.

Grafom lineárnej funkcie je priamka alebo jej časť. Na zostrojenie grafu lineárnej funkcie nám stačí poznať súradnice dvoch jej bodov.

Príklad 1:

Zostrojte graf funkcie y=2x-1.

Riešenie:

Vhodne si zvolíme x-ové súradnice dvoch bodov funkcie a dosadením do predpisu funkcie dopočítame y-ové súradnice týchto bodov.

x	-1	1
y	-3	1

Tým sme získali súradnice dvoch bodov patriacich grafu danej priamky. Obrazy týchto bodov znázorníme v karteziánskej súradnicovej sústave a následne zakreslíme graf lineárnej funkcie.

Graf funkcie y=2x-1

Definičným oborom tejto lineárnej funkcie sú všetky reálne čísla. ( D(f) = R )

Oborom hodnôt tejto lineárnej funkcie sú všetky reálne čísla. ( H(f) = R )

Priesečníky grafu so súradnicovými osami:

Uvažujme lineárnu funkciu f z predošlého zadania, danú predpisom y = 2x – 1.

a) Priesečník s osou x:

všetky body ležiace na osi x majú y-ovú súradnicu nulovú, preto priesečník s osou x bude bod P_x = [x; 0].
dosadíme teda do predpisu lineárnej funkcie y-ovú súradnicu bodu P_x:

Konkrétne				Všeobecne
0	=	2x – 1	/+1	0	=	ax + b	/-b
1	=	2x	/:2	-b	=	ax	/:a
0,5	=	x		-b/a	=	x

riešením jednoduchej rovnice sme získali x-ovú súradnicu priesečníka
hľadaný priesečník s osou x-ovou je teda bod P[0,5;0].
všimnime si: priesečník s osou x-ovou je bod P_x[-b/a;0]

b) Priesečník s osou y

všetky body ležiace na osi y majú x-ovú súradnicu nulovú, preto priesečník s osou y bude bod P_y = [0; y].
dosadíme teda do predpisu lineárnej funkcie x-ovú súradnicu bodu P_y:

Konkrétne			Všeobecne
y	=	2·0 – 1	y	=	a·0 + b
y	=	-1	y	=	b

riešením jednoduchej rovnice sme získali y-ovú súradnicu priesečníka
hľadaný priesečník s osou y-ovou je teda bod P[0;-1].
všimnime si: priesečník s osou y-ovou je bod P_y[0;b]

Špeciálne prípady lineárnej funkcie:

1. Konštantná funkcia:

Ak v predpise lineárnej funkcie y = ax + b je a = 0, potom y = b. V tomto prípade hovoríme o tzv. konštatnej funkcii, ktorej grafom je priamka rovnobežná s osou x a prechádzajúca bodom [0; b].

Graf funkcie y=b

2. Priama úmernosť:

Ak v predpise lineárnej funkcie y = ax + b je b = 0, potom y = ax. V tomto prípade hovoríme o tzv. priamej úmernosti, ktorej grafom je priamka, ktorá vždy prechádza začiatkom súradnicového systému, teda bodom [0; 0].

Graf funkcie y=0,3x

Vlastnosti lineárnej funkcie:

lineárna funkcia je rastúca práve vtedy, keď a > 0;
lineárna funkcia je klesajúca práve vtedy, keď a < 0;

Príklad 2:

Je daná lineárna funkcia f: y=ax+b. Určte lineárnu funkciu g, ktorej graf je súmerný s grafom funkcie y=ax+b podľa:

osi x
osi y
začiatku súradnicovej sústavy

Riešenie:

a) Ak má byť graf súmerný podľa osi x, tak

bude podobne ako graf funkcie y=ax+b prechádzať bodom P_x[-b/a;0]
ak graf funkcie f pretína y-ovú os v bode [0;b], potom graf funkcie g bude pretínať y-ovú os v bode [0;-b].

Teda funkcia g bude mať nasledovný predpis: y=-ax-b.

Graf funkcií f a g súmerných podľa osi x

b) Ak má byť graf súmerný podľa osi y, tak

bude podobne ako graf funkcie y=ax+b prechádzať bodom P_y[0;b]
ak graf funkcie f pretína x-ovú os v bode [-b/a;0], potom graf funkcie g bude pretínať x-ovú os v bode [b/a;0].

Teda funkcia g bude mať nasledovný predpis: y=-ax+b.

Graf funkcií f a g súmerných podľa osi y

c) Ak má byť graf súmerný podľa začiatku súradnicovej sústavy, tak

ak graf funkcie f pretína y-ovú os v bode [0;b], potom graf funkcie g bude pretínať y-ovú os v bode [0;-b]
ak graf funkcie f pretína x-ovú os v bode [-b/a;0], potom graf funkcie g bude pretínať x-ovú os v bode [b/a;0]

Teda funkcia g bude mať nasledovný predpis: y=ax-b.

Graf funkcií f a g súmerných podľa začiatku súradnicovej sústavy

Všimnime si:

Všeobecne platí: Ak sú dané dve funkcie f: y=rx+s a g: y=kx+q, potom sú:

súmerné podľa osi x-ovej, ak r=-k a zároveň s=-q, napr. f: y=2x-4 a g: y=-2x+4; (obr. v príklade 2a)
súmerné podľa osi y-ovej, ak r=-k a zároveň s=q, napr. f: y=5x-3 a g: y=-5x-3; (obr. v príklade 2b)
súmerné podľa začiatku súradnicovej sústavy (ich grafy sú rovnobežné), ak r=k a zároveň s=-q, napr. f: y=2x-4 a g: y=2x+4; (obr. v príklade 2c)
ich grafy sú rovnobežné rôzne, ak r=k a zároveň s≠q, napr. f: y=2x-4 a g: y=2x+1; (nasledovný obr.)

Rovnobežné rôzne grafy funkcií f a g

Príklad 3:

Zostrojte graf danej funkcie, určte je definičný obor, obor hodnôt a priesečníky grafu funkcie so súradnicovými osami, ak:

f: y = 2x + 1, ak x ∈ (-2; ∞)
g: y = -x + 2, ak x ∈ (-3; 4>
h: y = -3x – 4, ak x ∈ (-2; 2)

Riešenie:

a) zo zadania vyplýva, že D(f) = (-2; ∞); najskôr si určíme funkčné hodnoty v x = -2 a ďalšom x ∈ (-2; ∞), napr. x=1

f(-2)=2·(-2)+1=-3; f(1)=2·(1)+1=3, čo môžeme prehladne zapísať do tabuľky:

x	-2	1
y	-3	-3

Zostrojíme graf: (nezabudnite na prázdny krúžok pri znázornení bodu [-2;2] lebo tento bod grafu nepatrí)

Graf funkcie f: y = 2x + 1

D(f) = (-2; ∞); H(f) = (-3; ∞)
P_x[-0,5;0]; P_y[0;1]

b) zo zadania vyplýva, že D(f) = (-3; 4>; najskôr si určíme funkčné hodnoty v x=-3 a x=4 (čiže v krajných bodoch intervalu)

f(-3)=-(-3)+2=5; f(4)=-4+2=-2 teda v tabuľke

x	-3	4
y	5	-2

Zostrojíme graf: (nezabudnite na prázdny krúžok pri znázornení bodu [-3;5] lebo tento bod grafu nepatrí, ale bod [4;-2] grafu patrí, teda krúžok bude plný)

Graf funkcie f: y = -x + 2