Lineárna funkcia

Lineárna funkcia je funkcia daná rovnicou y = ax + b , kde a, b sú reálne čísla.

Grafom lineárnej funkcie je priamka alebo jej časť. Na zostrojenie grafu lineárnej funkcie nám stačí poznať súradnice dvoch jej bodov.


Príklad 1:

Zostrojte graf funkcie y=2x-1.

Riešenie:

Vhodne si zvolíme x-ové súradnice dvoch bodov funkcie a dosadením do predpisu funkcie dopočítame y-ové súradnice týchto bodov.

x -1 1
y -3 1

Tým sme získali súradnice dvoch bodov patriacich grafu danej priamky. Obrazy týchto bodov znázorníme v karteziánskej súradnicovej sústave a následne zakreslíme graf lineárnej funkcie.

Graf funkcie y=2x-1

Definičným oborom tejto lineárnej funkcie sú všetky reálne čísla. ( D(f) = R )

Oborom hodnôt tejto lineárnej funkcie sú všetky reálne čísla. ( H(f) = R )


Priesečníky grafu so súradnicovými osami:

Uvažujme lineárnu funkciu f z predošlého zadania, danú predpisom y = 2x – 1.

a) Priesečník s osou x:

  • všetky body ležiace na osi x majú y-ovú súradnicu nulovú, preto priesečník s osou x bude bod Px = [x; 0].
  • dosadíme teda do predpisu lineárnej funkcie y-ovú súradnicu bodu Px:
  • Konkrétne Všeobecne
    0 = 2x – 1 /+1 0 = ax + b /-b
    1 = 2x /:2 -b = ax /:a
    0,5 = x -b/a = x
  • riešením jednoduchej rovnice sme získali x-ovú súradnicu priesečníka
  • hľadaný priesečník s osou x-ovou je teda bod P[0,5;0].
  • všimnime si: priesečník s osou x-ovou je bod Px[-b/a;0]

b) Priesečník s osou y

  • všetky body ležiace na osi y majú x-ovú súradnicu nulovú, preto priesečník s osou y bude bod Py = [0; y].
  • dosadíme teda do predpisu lineárnej funkcie x-ovú súradnicu bodu Py:
  • Konkrétne Všeobecne
    y = 2·0 – 1 y = a·0 + b
    y = -1 y = b
  • riešením jednoduchej rovnice sme získali y-ovú súradnicu priesečníka
  • hľadaný priesečník s osou y-ovou je teda bod P[0;-1].
  • všimnime si: priesečník s osou y-ovou je bod Py[0;b]

Špeciálne prípady lineárnej funkcie:

1. Konštantná funkcia:

Ak v predpise lineárnej funkcie y = ax + b je a = 0, potom y = b. V tomto prípade hovoríme o tzv. konštatnej funkcii, ktorej grafom je priamka rovnobežná s osou x a prechádzajúca bodom [0; b].

Graf funkcie y=b

2. Priama úmernosť:

Ak v predpise lineárnej funkcie y = ax + b je b = 0, potom y = ax. V tomto prípade hovoríme o tzv. priamej úmernosti, ktorej grafom je priamka, ktorá vždy prechádza začiatkom súradnicového systému, teda bodom [0; 0].

Graf funkcie y=0,3x

Vlastnosti lineárnej funkcie:

  • lineárna funkcia je rastúca práve vtedy, keď a > 0;
  • lineárna funkcia je klesajúca práve vtedy, keď a < 0;

Príklad 2:

Je daná lineárna funkcia f: y=ax+b. Určte lineárnu funkciu g, ktorej graf je súmerný s grafom funkcie y=ax+b podľa:

  1. osi x
  2. osi y
  3. začiatku súradnicovej sústavy

Riešenie:

a) Ak má byť graf súmerný podľa osi x, tak

  • bude podobne ako graf funkcie y=ax+b prechádzať bodom Px[-b/a;0]
  • ak graf funkcie f pretína y-ovú os v bode [0;b], potom graf funkcie g bude pretínať y-ovú os v bode [0;-b].

Teda funkcia g bude mať nasledovný predpis: y=-ax-b.

Graf funkcií f a g súmerných podľa osi x

b) Ak má byť graf súmerný podľa osi y, tak

  • bude podobne ako graf funkcie y=ax+b prechádzať bodom Py[0;b]
  • ak graf funkcie f pretína x-ovú os v bode [-b/a;0], potom graf funkcie g bude pretínať x-ovú os v bode [b/a;0].

Teda funkcia g bude mať nasledovný predpis: y=-ax+b.

Graf funkcií f a g súmerných podľa osi y

c) Ak má byť graf súmerný podľa začiatku súradnicovej sústavy, tak

  • ak graf funkcie f pretína y-ovú os v bode [0;b], potom graf funkcie g bude pretínať y-ovú os v bode [0;-b]
  • ak graf funkcie f pretína x-ovú os v bode [-b/a;0], potom graf funkcie g bude pretínať x-ovú os v bode [b/a;0]

Teda funkcia g bude mať nasledovný predpis: y=ax-b.

Graf funkcií f a g súmerných podľa začiatku súradnicovej sústavy


Všimnime si:

Všeobecne platí: Ak sú dané dve funkcie f: y=rx+s a g: y=kx+q, potom sú:

  1. súmerné podľa osi x-ovej, ak r=-k a zároveň s=-q, napr. f: y=2x-4 a g: y=-2x+4; (obr. v príklade 2a)
  2. súmerné podľa osi y-ovej, ak r=-k a zároveň s=q, napr. f: y=5x-3 a g: y=-5x-3; (obr. v príklade 2b)
  3. súmerné podľa začiatku súradnicovej sústavy (ich grafy sú rovnobežné), ak r=k a zároveň s=-q, napr. f: y=2x-4 a g: y=2x+4; (obr. v príklade 2c)
  4. ich grafy sú rovnobežné rôzne, ak r=k a zároveň s≠q, napr. f: y=2x-4 a g: y=2x+1; (nasledovný obr.)

Rovnobežné rôzne grafy funkcií f a g

Príklad 3:

Zostrojte graf danej funkcie, určte je definičný obor, obor hodnôt a priesečníky grafu funkcie so súradnicovými osami, ak:

  1. f: y = 2x + 1, ak x ∈ (-2; ∞)
  2. g: y = -x + 2, ak x ∈ (-3; 4>
  3. h: y = -3x – 4, ak x ∈ (-2; 2)

Riešenie:

a) zo zadania vyplýva, že D(f) = (-2; ∞); najskôr si určíme funkčné hodnoty v x = -2 a ďalšom x ∈ (-2; ∞), napr. x=1

f(-2)=2·(-2)+1=-3; f(1)=2·(1)+1=3, čo môžeme prehladne zapísať do tabuľky:

x -2 1
y -3 -3

Zostrojíme graf: (nezabudnite na prázdny krúžok pri znázornení bodu [-2;2] lebo tento bod grafu nepatrí)

Graf funkcie f: y = 2x + 1

  • D(f) = (-2; ∞); H(f) = (-3; ∞)
  • Px[-0,5;0]; Py[0;1]

b) zo zadania vyplýva, že D(f) = (-3; 4>; najskôr si určíme funkčné hodnoty v x=-3 a x=4 (čiže v krajných bodoch intervalu)

f(-3)=-(-3)+2=5; f(4)=-4+2=-2 teda v tabuľke

x -3 4
y 5 -2

Zostrojíme graf: (nezabudnite na prázdny krúžok pri znázornení bodu [-3;5] lebo tento bod grafu nepatrí, ale bod [4;-2] grafu patrí, teda krúžok bude plný)

Graf funkcie f: y = -x + 2

  • D(f) = (-3;4 >; H(f) = <-2;5)
  • Px[2;0]; Py[0;2]

c) zo zadania vyplýva, že D(f) = (-2; 2); najskôr si určíme funkčné hodnoty v x=-2 a x=2 (čiže v krajných bodoch intervalu)

f(-2)=-3·(-2)-4=2; f(1)=-3·2-4=-10

x -2 2
y 2 -10

Zostrojíme graf: (nezabudnite na prázdny krúžok pri znázornení bodov [-2;2] a [2;-10] lebo tieto body grafu nepatria)

Graf funkcie f: y = -3x - 4

  • D(f) = (-2;2); H(f) = (-10;2)
  • Px[- štyri tretiny;0]; Py[0;-4]

Príklad 4:

Určte lineárnu funkciu, pre ktorú platí: f(-2) = 6; f(3) = -2.

Riešenie:

Všeobecný predpis lineárnej funkcie je y = ax + b.

    Zo zadania vyplýva:

  • ak x = -2, potom y = 6
  • ak x = 3, potom y = -2

Dosadením do predpisu funkcie dostaneme sústavu dvoch rovníc s dvoma neznámymi: ( ako riešiť sústavu dvoch rovníc s dvoma neznámymi)

6 = a·(-2) + b /·(-1)
-2 = a·3 + b
-6 = 2a – b
-2 = 3a + b (využijeme sčítaciu metódu)
-8 = 5a /:5
osem pätín = a

Ďalej pokračujeme vyjadrením b napr. z prvej rovnice:

b = 2a + 6 = 2·(- osem pätín) + 6 = – šestnásť pätín + 6 = štrnásť pätín

Po dosadení do všeobecného predpisu funkcie teda dostaneme:

y = – osem pätínx + štrnásť pätín

Výsledok: Predpis funkcie je y = – osem pätínx + štrnásť pätín


Rudolf Zrebný

Som obyčajný človek, ktorý má rád matematiku. Aj to je dôvod, prečo som sa stal učiteľom matematiky a vo voľných chvíľach pracujem na webe pohodovamatematika.sk. Časť voľného času venujem tvorbe webových stránok a bicyklovaniu v prírode. Inak sa snažím väčšinu dňa prežiť s mojou krásnou rodinkou.