Ďalší z testov, ktorý vás pripraví na prijímacie skúšky z matematiky na strednú školu a Monitor – Testovanie 9. V tomto teste sa venujeme celku Kombinatorika v úlohách, riešenie úloh.
Konkrétne si postupne spolu prejdeme témy:
- Usporiadanie prvkov do radu.
- Tvorenie dvoj-, troj-, štvorciferných čísel (prvkov) z daného počtu číslic (prvkov).
- Úlohy na tvorbu skupín predmetov a ich počte z oblasti rôznych hier, športu a z rôznych oblastí života.
- Využitie pravidla súčtu a pravidla súčinu.
- Riešenie kombinatorických úloh rôznymi metódami.
Test je dostupný iba pre podporovateľov pohodovej matematiky. Prístup k tomuto a ďalším testom získate na stránke Bonusový obsah.
Test je dostupný iba pre podporovateľov pohodovej matematiky. Prístup k tomuto a ďalším testom získate na stránke Bonusový obsah.
3 dievčatá si kúpili lístky na predstavenie Smejko a Tanculienka vedľa seba v jednom rade. Koľkými rôznymi spôsobmi sa môžu posadiť?
1. možnosť:
– riešenie vypisovaním možností; dievčatá označíme A, B, C a postupne vypisujeme všetky možnosti – ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA – 6
2. možnosť:
3*2*1 = 6 (na 1. sedadlo si môže sadnúť ľubovoľné z 3 dievčat, na druhé sedadlo ľubovoľné z 2 zostávajúcich dievčat a na 3. sedadlo posledné dievča. (kombinatorické pravdilo súčinu)
6() spôsobmi– riešenie vypisovaním možností; dievčatá označíme A, B, C a postupne vypisujeme všetky možnosti – ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA – 6
2. možnosť:
3*2*1 = 6 (na 1. sedadlo si môže sadnúť ľubovoľné z 3 dievčat, na druhé sedadlo ľubovoľné z 2 zostávajúcich dievčat a na 3. sedadlo posledné dievča. (kombinatorické pravdilo súčinu)
Chlapci sa dohodli, že navštívia Súľovský hrad, Hričovský hrad a Lietavský hrad. Koľko možných poradí návštev hradov chlapci majú, ak neberú ohľad na dĺžku trasy?
Ako prvý môžu navštíviť ľubovoľný z 3 hradov, ako druhý v poradí jeden zo zvyšných dvoch a ako posledný ten, ktorý zostane, preto 3*2*1=6
6() poradíPred školským výletom sa stretli 5 kamaráti a každý s každým si podal ruku. Koľko podaní rúk to bolo?
Každý z 5 kamarátov podal ruku zvyšným štyrom, preto 5*4=20. V tomto počte je ale zahrnuté každé podanie rúk 2-krát, lebo napr. Ferko podal ruku Janko, Jožkovi, atď. ale aj Janko podal ruku Ferkovi, Jožkovi atď, preto výsledok musíme ešte deliť dvomi. 20:2=10 Alebo využijeme vypisovanie možností: označíme si kamarátov napr. A,B,C,D,E. Podáva ruku A – AB, AC, AD, AE, ale keď podáva ruku B, tak A už nepodá, preto – BC, BD, BE, rovnako C už len CD, CE, potom D – DE a E si už podal ruku so všetkými. Počet podaní je 10.
10() podaní rúk.Petra postúpila do krajského kola súťaže. V škole, kde sa súťaž konala mali na výber 2 druhy polievky, 3 druhy hlavných jedál a 4 druhy nápojov. Koľko rozličných obedov mala Petra na výber?
Z každou polievkou mohla kombinovať ľubovoľné hlavné jedlo i nápoj, preto počet obedov = 2*3*4 = 24
24() možných obedovKoľko trojciferných čísel môžeme zostaviť pomocou číslic 0, 2, 5, 7, ak sa číslice nemôžu opakovať?
3-ciferné číslo pozostáva z 3 číslic: _ _ _ Na prvej pozícii môžu byť cifry 2, 5, 7, ale nie 0, lebo by vzniklo 2-cif. číslo (možné teda 3 číslice). Na druhej pozícii môže byť ľubovoľná z 3 zostávajúcich číslic a na tretej pozícii môže byť ľubovoľná z 2 zostávajúcich číslic. Preto počet možných čísel získame súčinom 3*3*2=18
18() možných 3-ciferných číselNa turnaji v malom futbale sa zúčastnilo 8 žiackych družstiev. každý hral s každým, pričom sa vždy odohral aj odvetný zápas. Koľko zápasov sa odohralo?
Každé z 8 družstiev hralo s každým z ostatných tímov, preto 8*7=56
56() zápasovLucke jej otec vyrobil novú poličku na knihy. Už má do nej pripravené 3 knihy od Anny Toddovej a 2 knihy od Leny Riečanskej. Koľkými spôsobmi ich môže na poličke zoradiť, ak chce mať knihy od rovnakej autorky vždy vedľa seba?
Ak majú byť knihy od rovnakej autorky vždy vedľa seba, tak máme 2 možné zoskupenia: knihy od A.T. a potom knihy od L.R. alebo naopak najskôr knihy od L.R a potom od A.T. Nesmieme ale zabudnúť, že rôzne poradie môžu mať aj knihy od tej istej autorky. 3 knihy A.T.: 1*2*3=6 možností, 2 knihy L.R.: 2 možnosti zoradenia. Celkovo teda 2*6*2=24 možností Samozrejme môžete použiť aj stromový diagram.
24() možností usporiadania kníhNa školskom výlete 15 žiakov bolo potrebné vybrať prvú nočnú dvojčlennú hliadku. Jeden z hliadky bol určený ako kapitán. Koľko možností na výber dvojčlennej hliadky žiaci mali?
Pri výbere sa kapitánom mohol stať hociktorý z 15 žiakov, zo zvyšných 14 žiakov bol vybraný 2 člen hliadky, preto 15*14=210
210() možnostíKoľko 2-ciferných čísel väčších ako 40 je možné vytvoriť z číslic 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6? Číslice sa nemôžu opakovať.
Ak majú byť > 40, tak na mieste desiatok musí byť cifra > 4 (z daných cifier sú to 2 možné) a na mieste jednotiek môže byť ľubovoľné zo zvyšných 6 cifier, preto 2*6=12 možností. Ak je na mieste desiatok 4, tak na mieste jednotiek môže byť iba jedna z čísel 1, 2, 3, 5, 6, čo je ďalších 5 možností. Celkom 15 možností.
Alebo riešime vypisovaním všetkých možností: 41, 42, 43, 45, 46, 50, 51, 52, 53, 54, 56, 60, 61, 62, 63, 64, 65 – 17 možností
17()Alebo riešime vypisovaním všetkých možností: 41, 42, 43, 45, 46, 50, 51, 52, 53, 54, 56, 60, 61, 62, 63, 64, 65 – 17 možností
Koľko 4-ciferných čísel je možné vytvoriť z číslic 2, 3, 4, 5, ak má byť 3 na mieste stoviek a číslice sa nemôžu opakovať?
Vytvárame 4-ciferné číslo: _ _ _ _, pričom pozícia stoviek je obsadená – _ 3 _ _
Keďže sa číslice nemôžu opakovať, na 1. pozíciu môžeme umiestniť jednu z 3 číslic, na 2. pozíciu jednu zo zvyšných 2 číslic a na poslednú pozíciu zostávajúcu číslicu. Výsledok získame súčinom 3*2*1=6
Alebo využijeme vypisovanie možností.
6()Keďže sa číslice nemôžu opakovať, na 1. pozíciu môžeme umiestniť jednu z 3 číslic, na 2. pozíciu jednu zo zvyšných 2 číslic a na poslednú pozíciu zostávajúcu číslicu. Výsledok získame súčinom 3*2*1=6
Alebo využijeme vypisovanie možností.
Koľko 4-ciferných čísel má ciferný súčet menší ako 4?
1000 – 1 číslo 1100, 1010, 1001 – 3 čísla 1110, 1101, 1011 – 3 čísla 1200, 1020, 1002, 2100, 2010, 2001 – 6 čísel 2000 – 1 číslo Spolu 14 čísel.
14()Koľko je trojciferných čísel, v ktorých sú aspoň 2 trojky?
3-cif. číslo: _ _ _;aspoň 2 trojky, znamená 2 a viac; práve 2 trojky:; ;- 33_ – na 3. pozíciu môžem dať ľubovoľnú z 10 cifier 0 až 9 okrem 3, preto 9 možností; ;- 3_3 – podobne 9 možností ;- _33 – na 1. pozíciu nemôžem dať 0, lebo by to už bolo 2-cif. číslo, tiež nemôžem dať 3, preto len 8 možností práve 3 trojky:; ;- 333 – 1 možnosť Spolu: 9+9+8+1=27 možností
27()Koľko možných súčtov sa dá získať pri hode dvoma hracími kockami?
najmenší súčet: 1+1=2; najväčší súčet: 6+6=12; Možné súčty: 2, 3, 4, …, 12, teda spolu 11 možných súčtov
11()Koľko nepárnych čísel môžeme zostaviť z číslic 0, 1, 2, 3 tak, aby sa číslice neopakovali?
Do daného počtu zahrňte jednociferné, dvojciferné, trojciferné aj štvorciferné čísla…
22()Koľko párnych dvojciferných čísel je možné vytvoriť pomocou kartičiek na obrázku?
2-cif. číslo: _ _ Musia to byť párne čísla, preto na 2. pozícii môže byť iba jedna z cifier 2, 8, teda 2 možné číslice a na 1. pozícii ľubovoľná zo zvyšných piatich. Preto 5*2=10
10()Na školskom turnaji hrali 3 družstvá zložené zo žiakov 3. ročníka a 4 družstvá zostavené zo žiakov 2. ročníka. Každý s každým hral 1 zápas bez odvety. Koľko zápasov bolo spolu odohraných na tomto turnaji?
Každé zo 7 družstiev odohralo 6 zápasov, preto 7*6=42. V tomto počte je ale započítaná aj odveta, preto musíme výsledok deliť dvomi – 42:2=21 zápasov.
Alebo využijeme stromový diagram:
21()Alebo využijeme stromový diagram:
Andrea má 5 hádzanárskych dresov rôznych farieb – červený, modrý, zelený, ružový, oranžový. Koľkými spôsobmi ich môže poukladať vedľa seba tak, aby modrý a zelený dres boli vždy vedľa seba?
Označme si dresy – Č, M, Z, R, O Modrý a zelený musia byť vedľa seba, preto môžu nastať situácie: M Z _ _ _ – 3*2*1=6 možností; _ M Z _ _ – 3*2*1=6 možností; _ _ M Z _ – 3*2*1=6 možností ;- _ _ _ M Z – 3*2*1=6 možností To je spolu 24 možností. Keď M a Z navzájom vymeníme, tak dostaneme ďalších 24 možností, preto 48 možností.
48()Koľkými spôsobmi môžeme uložiť vedľa seba na poličku 4 rôzne knihy?
Vypisovaním možností:;Knihy si označíme A,B,C,D. ; ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB ; BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA ; CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA ; DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA Spočítame počet možností – 24.;;Iný spôsob:;Keďže ide o 4 knihy, jednotlivé umiestnenia si môžeme znázorniť napr. nasledovne:_ _ _ _;Na 1. pozíciu môžeme umiestniť hociktorú zo 4. kníh, na 2. pozíciu hociktorú z 3 zvyšných kníh, lebo 1 knihu sme umiestnili na 1. pozíciu, atď. Výsledok teda získame súčinom 4*3*2*1 = 24
24()Na hodine matematiky našli žiaci na stole položené kartičky ako na obrázku. Koľko dvojciferných čísel z nich môžu zostaviť?
Dvojciferné čísla: _ _ Na 1. pozíciu môžeme umiestniť jednu zo 6 číslic, na 2. pozíciu jednu zo zostávajúcich 5, preto 6*5=30 možných dvojciferných čísel.
30()Reklama