Ako sa vyvíjala matematika – 3. etapa

3. a 4. etapa – matematika premenných veličín a súčasná matematika

Spomenuli sme už , že výsledky ďalšieho rozvoja matematiky sa vymykajú už z rámca, ktorý má vyučovanie na strednej škole. Históriu tretej etapy dobre spracoval H. Wieleitner. O štvrtej etape existuje rozsiahla literatúra, ktorá je však máloktorému čitateľovi prístupná formou podania ( snaha o sprístupnenie výsledkov modernej matematiky – Cesty moderní matematiky…)

Skúmanie pohybu sa stalo koncom 16. storočia ústrednou úlohou prírodovedy. Spoločenská prax žiadala lepšie zvládnuť zákonitosti pohybu a zmeny v rôznych oblastiach javov. Potreba rozvoja stavala prírodné vedy pred skúmanie pohybu, rôznych zmien a závislostí medzi zmenami rôznych veličín. Ako odraz spoločenských vlastností meniacich sa veličín a závislostí medzi nimi vznikol v matematike pojem premennej veličiny a funkčnej závislosti. To bolo to nové, čo určilo prechod matematiky k „vyššej matematike“, k matematike premenných veličín. Matematický pojem premennej veličiny a funkcie to nie je nič iné ako abstrakcia, zovšeobecnenie konkrétnych premenných veličín – aké sú čas, dĺžka, rýchlosť, sila atď. – a konkrétnych závislostí medzi nimi. Napríklad Galileo Galilei objavuje zákon voľného pádu.

Základným pojmom vyššej matematiky je pojem premennej veličiny a funkcie. Ide o pojmy s vysokým stupňom abstrakcie. Abstrakciou od konkrétnych funkcií vzniká pojem funkcie vôbec. Oblasť, ktorá sa zaoberá funkciami, sa nazýva analýza, matematická analýza (analýza nekonečne malých veličín). Funkcia je abstraktný obraz závislostí jednej veličiny od druhej.

Pojmy premennej veličiny a funkcie v konečnom tvare nevznikli u Galileiho, Descarta, Newona, Leibnica atď. Predobrazy možno vypátrať už v dávnom Babylone, Grécku i u indických a arabských matematikov. Definícia funkcie pochádza z 19. storočia, a nie je uzavretou záležitosťou ani dnes.

Analýza závažným spôsobom ovplyvňuje rozvoj všetkých doterajších matematických teórií, pretvára ich náplň, novým postupom rieši nejednu z nevyriešených úloh a presvedčivým spôsobom demonštruje jednotu celej matematiky. V rámci analýzy sa rozvíja teória radov, teória diferenciálnych rovníc, variačný počet atď. V 19. storočí sa rodí ďalšie veľmi významné odvetvie: teória funkcií komplexnej premennej veličiny (francúzsky matematik Cauchy). Jej počiatky badať síce ešte u starších matematikov ( napr. u Eulera), ale pre jej prudký rozvoj bola rozhodujúca skutočnosť, že táto nová teória mala v rôznych oblastiach teórie a praxe (najmä technickej – hydrodynamika, aerodynamika atď.) neobyčajne bohaté zastúpenie. Podobne je to v teórií čísel. Euler uvádza metódy analýzy do teórie čísel, a tak zakladá tzv. analytickú teóriu čísel, ktorá dosahuje nemálo závažných výsledkov.

V algebre sa takmer 300 rokov robili pokusy algebricky riešiť rovnice vyššieho ako štvrtého stupňa (Euler, Leibniz, Gauss, Abel, Ruffini, Galois, Goldbach, Pervušin, Čebyšev…) Abelovo a Galoisovo dielo, to je začiatok teórie grúp, ktorá sa neskôr ukázala ako veľmi významná aj mimo algebry ( v kvantovej mechanike, a v kryštalografii), v analýze a v geometrii. Je to tiež začiatok novej modernej, súčasnej algebry. Algebra bola povodne náuka o aritmetických výkonoch s číslami, ktoré sa chápali formálne vo všeobecnom tvare, v abstrakcii od konkrétnych čísel. Čísla sa stávali všeobecnými číslami. Súčasná algebra ide však v tomto zovšeobecnení oveľa ďalej. Tu sa už neskúmajú len čísla a výkony s nimi, ale veličiny, objekty, prvky veľmi všeobecnej povahy ( oveľa všeobecnejšej ako čísla) a výkony d týmito prvkami, ktoré len po svojej formálnej stránke pripomínajú niektoré známe vlastnosti výkonov, ako napríklad sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie.

No ani geometria nezostala pri tom, čo sme predbežne uviedli. Nezostáva pri trojrozmernom Euklidovskom priestore, ale skúma priestory viacrozmerné. Ba vďaka objavom Lobačovského, Bólyaiho a Riemanovým (ktoré znamenajú zásadný obrat), neobmedzuje sa na euklidovskú geometriu a skúma všeobecnejšie možné neeuklidovské formy priestoru, ktoré neskôr neobyčajne dobre poslúžili rozvoju modernej teoretickej fyziky.

Osobitnú zmienku si zaslúži zrod a rozvoj teórie pravdepodobnosti a matematickej štatistiky, ktorý spadá tiež do skúmaných etáp. Tá vďačí za svoj vznik a rozvoj predovšetkým šírke použitia, vyvierajúcej z toho, že táto teória riešila závažné úlohy istej oblasti výskumu a praxe, a to také úlohy, ktorých riešenie predtým nebolo známe. Nikto nepochybuje, že už v antickom Grécku existovali matematické hry a zábavy, tie však neboli rozhodujúce pre rozvoj tejto teórie. Teória pravdepodobnosti a matematickej štatistiky našla úspešné použitie v rôznych oblastiach fyziky (kinetická teória plynov, termodynamika, neskôr kvantová mechanika a iné).

To, že ani veľmi úspešné úsilie matematikov predchádzajúcich storočí neznamená utvorenie ukončeného systému v matematike, ukazuje ďalší vývoj, ktorý trvá dodnes. Pokiaľ ide o geometriu, algebru a analýzu, je charakteristickou črtou súčasnej matematiky veľkému rozšíreniu predmetu matematiky ruka v ruke s veľkým rozšírením jej aplikácií. Vytvárajú sa nové zovšeobecňujúce pojmy, dosahuje sa nový, oveľa vyšší stupeň abstrakcií. Dobrým príkladom môže byť vznik ďalšej teórie: tzv. funkcionálnej analýzy. Táto vzniká na základe rozvoja analýzy a matematickej fyziky, spájajúc niektoré nové myšlienky algebry a geometrie. Má významné upotrebenie v atómovej fyzike, kvantovej mechanike a inde. Rozvoj nových zovšeobecňujúcich pojmov zabezpečuje, okrem iného, upevnenie jednoty matematiky aj napriek jej prudkému rastu a neustálemu rozvetvovaniu.

V matematike pokračuje proces rozboru a spresňovania jej základov, vzájomných súvislostí pojmov, a štruktúry jednotlivých teórií. Skúmajú sa metódy matematických dôkazov. Rozvíja sa tzv. matematická logika. Predmetom súčasnej matematiky sú, viac ako kedykoľvek predtým, nielen dané, ale aj možné kvantitatívne vzťahy a formy.

Zdroj: A. Kotzig, Matematika a spoločnosť

Rudolf Zrebný

Som obyčajný človek, ktorý má rád matematiku. Aj to je dôvod, prečo som sa stal učiteľom matematiky a vo voľných chvíľach pracujem na webe pohodovamatematika.sk. Časť voľného času venujem tvorbe webových stránok a bicyklovaniu v prírode. Inak sa snažím väčšinu dňa prežiť s mojou krásnou rodinkou.