Ako sa vyvíjala matematika – 1. etapa

1. etapa: vznik matematiky ako samostatnej teoretickej vedy

Vznikom „čistej“ matematiky v antickom Grécku s jej logickým systémom poučiek a ich dôkazov sa končí táto etapa asi v 5. storočí pred n.l. Je to najdlhšia etapa. Formovanie sa aritmetiky a geometrie, ktoré sú bezprostredne viazané s praxou trvá tisícročia.

Ak chceme nazrieť do predhistórie matematiky, aby sme ustálili, ako dlho dozrievali podmienky pre jej vznik, nezostáva nám nič iné, ako nazrieť do všeobecných dejín ľudstva.

Dozvieme sa, že dlhá, veľmi dlhá doba uplynula, než sa u človeka objavili prvé záblesky myslenia a reči. Od prvej výroby primitívnych nástrojov až do vzniku a ustálenia spoločnosti prvobytných ľudí uplynulo najmenej 600 000 rokov.

Dnes potrebujeme veľké čísla, keď chceme počtom uplynulých rokov vyjadriť dĺžku trvania doby, v ktorej schopnosti ľudí dozrievali na to, aby poznali aspoň najmenšie čísla. Domnievame sa, že v tomto období sa vynorili spolu s prvými myšlienkami aj prvé predstavy o počte vecí. Poznanie tvaru a počtu bolo však veľmi hmlisté a nejasné. Málo sa líšilo od toho, ako si všímajú a rozoznávajú kvalitu a kvantitu zvieratá.

Pri rozvíjajúcej sa výrobe dozrelo štádium, keď ľudia pocítili potrebu zachytiť a vyjadriť viac – menej inštinktívne poznávanú charakteristiku tvaru a počtu a vzájomne sa s ňou oboznámiť. Všetok dostupný materiál svedčí o tom, že ešte stále išlo len o príslušný konkrétny fakt, a vôbec nie o všeobecný pojem rovnakosti, podobnosti, odlišnosti, opakovania sa, počtu atď…Veď v mnohých primitívnych jazykoch sa ešte donedávna vyskytovali rôzne „číslovky“ pre rozličné druhy počítaných predmetov. Zvyšky toho nájdeme aj v moderných jazykoch. V slovenčine napríklad kopa vajec alebo orechov znamená 60 kusov. Nemôžeme však v tom istom zmysle povedať kopa stromov alebo koní. Práve tak pár koní, topánok atď. znamená dva kusy, ale nikto nepovie pár kníh. Štúdium najstarších jazykov ukazuje, že ani v dobe, keď sa objavujú prvé zápisy, nebol známy pojem čísla oddeleného od konkrétnych predmetov. Najstaršie zápisy, ktoré majú viac ako päť až šesťtisíc rokov, sa našli v hrobkách, v ruinách chrámov a v iných vykopávkach. Nepoznajú taký znak pre číslo, ktorý by bol uvedený bez spojenia s konkrétnym druhom predmetov. No a zápisy o počte sa neobjavili rozhodne skôr, kým nebolo potrebné niečo zaznamenať. Zo staršej doby kamennej nepoznáme jediný zápis, ktorý by sa týkal abstraktného počtu alebo tvaru. Tisíce rokov uplynulo dovtedy, než došlo k prvým zápisom. Ani začiatky mladšej doby kamennej nám nepodávajú dôkazy o prejavoch prvých koncepcií pojmu čísla a tvaru. Ešte veľmi dlho musíme listovať v dejinách ľudstva, kým narazíme na prvé stopy toho, čo odlišuje matematiku od rátania“ odhadom“.

Matematika v Egypte a v Mezopotámii

Spolu s primitívnym roľníctvom vznikajú prvé zárodky remesiel. Vzniká napríklad hrnčiarstvo a tesárstvo. Neskôr dochádza k prvým výmenám predmetov medzi usadlosťami. Zdokonaľuje sa ľudská reč. Slová tejto reči vyjadrujú ešte stále konkrétne predmety a udalosti. A veľmi málo abstraktných pojmov. Ďalší, tisíce rokov trvajúci vývin vedie k objasneniu koncepcie čísla. Základ bol už teda položený. V najranejších stupňoch rozvoja kultúry viedlo počítanie predmetov k ustáleniu niektorých jednoduchých pojmov aritmetiky prirodzených čísel. Na základe rozvinutého ústneho spôsobu počítania vznikajú písomné systémy, ktoré dovoľovali vyjadriť počet konkrétnych predmetov. Postupne sa ustaľujú štyri základné počtové úkony (sčítanie, odčítanie, násobenia a delenie – to však prichádza oveľa neskôr). Z toho sa vyvíjajú zárodky najstaršej matematickej teórie – aritmetiky. V dobe okolo 5 000 až 3 000 rokov pred n.l. vznikli pri ústí rieky Níl (Egypt) a medzi riekami Eufrakt a Tigris (Mezopotámia) nové, pokročilejšie formy spoločnosti. Potreby poľnohospodárstva viedli k regulácii riek, k stavbe kanálov a nádrží. Vznikajú veľké mestá, administratíva, daňový systém, bolo treba zostaviť kalendár, vypočítať dobu siatia, treba spočítať také množstvo predmetov, vecí, dní, krokov, pre ktoré niet v jazyku slov. Zmerať dĺžku a objem predmetov, získať nevyhnutné znalosti o pohybe Slnka, Mesiaca, hviezd aby sa dal počítať „čas“. Potreby rozvinutej spoločnosti dávajú bezprostredný podnet pre získanie poznatkov o počítaní a meraní. Z merania zeme, objemu nádob a astronómie sa vyvíjala neskôr mladšia sestra aritmetiky: geometria. Prv však, než vznikla a než sa oddelila od spoločného základu spoločenskej praxe aritmetika a geometria, bolo treba zhromaždiť veľké množstvo počtárskych a meračských skúseností. Počtárstvo a meračstvo bezprostredne spojené so spoločenskou praxou, prepletajúce sa navzájom, rozvíja sa s rozvojom spoločnosti na viacerých miestach súbežne, s menším či väčším oneskorením – zatiaľ nezávisle, samostatne. Najrýchlejší rozvoj badať tam, kde si potreby spoločnosti tento rozvoj vynucujú a kde sú pre to priaznivé podmienky. Je to na zavlažovanie a znalosť kalendára odkázaný Egypt, Mezopotámia a Čína (pravdepodobne len s malým časovým oneskorením). Neskôr niektoré kultúry v Amerike ( napr. Mayovia na polostrove Yucatan).

Prv než začali ľudia písať knihy o matematike, našla vyspelá spoločenská prax spôsob a prostriedky, ako odpovedať na niektoré otázky tam, kde je odpoveďou číslo, a to je tam, kde ide o veľké číslo.

V každom jazyku sa na istom stupni jeho rozvoja objavujú číslovky vo forme prídavných mien (druhý stupeň abstrakcie). Číslovka jedna, dve až päť sa objavujú väčšinou veľmi skoro. S číslovkami, ktoré vyjadrujú väčší počet, sú už prvé starosti a ťažkosti. V každom rozvíjajúcom sa jazyku dochádza k prekonaniu tejto ťažkosti. Ako odraz úspešných skúseností s počítaním sa tvorí názov pre skupinu určitého počtu predmetov. Nielen jazyky, ale aj číselné znaky písma poznajú skupinu desiatich prstov. Od toho je už len krok („krok“, ktorý však niekde trval aj stáročia), aby sa tvorili skupiny skupín.

Napríklad Egypťania už v najstarších záznamoch chápu pod skupinou dôsledne 10 predmetov, a tak osobitný znak označuje jednotku, skupinu jednotiek (= desať), ďalší znak je vyhradený pre stovku ako skupinu desiatok, ďalší pre tisícku ako skupinu stoviek. Babylončania rozoznávajú dva druhy skupín – desiatky a šesťdesiatky. Pre zápis veľmi veľkých čísel vystačia už len s opakovaním dvoch znakov: znaku pre jednotku a pre desiatku, pretože vynašli isté prvky pozičného spôsobu zápisu čísel (poloha znaku v zápise mení jeho význam). Tvorba skupín a skupín skupín umožňuje jednoduchým spôsobom vyjadriť veľké čísla.

Potreba počítať s veľkými číslami, ktorá si vynútila aj vytvorenie jazykových prostriedkov a príslušný odraz v zápisoch v Egypte aj v Mezopotámii, vyviera z viacerých prameňov. Z významu kalendára( kde sa nevystačí s malými číslami) a zo skutočnosti, že ide o veľmi rozsiahle centrálne riadené spoločenské útvary. Úspech v zabezpečovaní životných potrieb závisí od organizovaného úsilia veľkých más otrokov. K tomu pristupuje potreba vytvárať početný donucovací aparát – vojsko, potreba tvoriť veľké zásoby potravín, vytvoriť zložitý daňový systém, zvládnuť obchodný ruch veľkých rozmerov atď.

Vládcovia Egypta a Mezopotámie upevňovali svoje postavenie tým, že si získavali a podriaďovali znalcov kalendára, počtárstva a merania. Všetky známe poznatky využívali nielen na zabezpečenie prosperity, ale predovšetkým na ovládanie más. V Egypte a Mezopotámii sa už veľmi skoro vytvárala kňazská kasta, ktorej prvou spoločenskou úlohou bolo strážiť získané poznatky, hlavne kalendár. Táto rýchle získava prevládajúce postavenie. Poznatky sa stávajú výsadou vyvolených. Sú to „tajomstvá“, ktorých prezradenie sa kruto trestá.

Tým možno do istej miery vysvetliť známy rozpor medzi skutočnosťou, že počtárstvo a meračstvo starého Egypta a Babylonu dosiahlo vysokú úroveň, ale zanechalo po sebe len pomerne málo systematických záznamov. (Prvý štátny útvar v Mezopotámii vytvorili asi pred 6 000 rokmi Sumérovia, približne pred 4 000 rokmi tam vtrhli semitskí Akádi, splynuli s nimi a vytvorili spolu babylonský štát. Tu nájdeme aj vysvetlenie kombinovanej desiatkovo –šesťdesiatkovej sústavy popri desiatkovej sústave, ktorá sa neskôr týkala už len čísel menších ako 60). Z toho, čo sa zachovalo, sa dá bezpečne usúdiť, že Babylončania a Egypťania vedeli dôjsť k výsledkom, ktoré znamenajú vysoký počtársky výkon. Ich počtová technika bola vyššia ako u Grékov. V zachovaných matematických textoch starého Egypta nájdeme spolu s príkladmi a úlohami aj návod na ich riešenie. Úlohy sa však neanalyzujú, ale sa len opisujú. Neuvádzajú sa dôkazy správnosti postupu. Návody na presné riešenie sú premiešané s návodmi na približné riešenie. Egypťania zostavili svojrázny – dosť zložitý spôsob počítania so zlomkami, ktorý vyžaduje pomocné tabuľky. V meračstve sa orientovali na pravidlá výpočtu obsahu plôch a objemov (vrcholný výpočet – výpočet objemu zrezaného štvorbokého ihlana). Oveľa viac matematických textov sa zachovalo z Babylonu ako z Egypta. Umožňujú nám utvoriť si presnejší obraz o úrovni počtárstva a meračstva v tejto krajine. Tieto matematické texty pochádzajú z obdobia 2 000 rokov pred n.l. V Nippure bolo objavených 50 000 hlinených doštičiek veľkej „knižnice“, z ktorej väčšinu zničili Elamiti. Tam už vtedy bola tzv. škola kupeckých počtov pre obchodníkov.

Desiatkovo – šesťdesiatková číselná sústava (zahrňujúca už prvky pozičného princípu) umožňovala Babylončanom narábať s celými číslami a tiež zo šesťdesiatinnými zlomkami pomocou jednoduchých pravidiel. Delenie pomocou tabuliek obrátených čísel prechádzalo na násobenie. V textoch, ktoré sa objavujú neskôr, je výpočet týchto čísel dovedený až do ôsmeho šesťdesiatinného znaku! Okrem toho existovali tabuľky pre násobenie, umocňovanie a odmocňovanie. Veľké množstvo zápisov dokazuje, že tieto výdobytky sa plne využívali pri sledovaní a výpočtoch hospodárskeho života dvora a chrámov. Podrobné výpočty sa týkajú úrokov z dlhov! Existuje veľa textov (z obdobia Chamurapiho dynastie), ktoré sú venované riešeniu úloh, na výpočet ktorých musia použiť rovnice prvého, druhého, ba aj tretieho stupňa. Možno predpokladať, že už pred 4 000 rokmi isté počiatky vedeckých záujmov viedli v Babylone k ustáleniu všeobecnejších algebrických metód riešenia úloh v školách „pisárov“. Takéto texty sa vyskytujú neskôr zriedkavejšie, ustupujú (asi tak okolo roku 1 000 pred n.l.) výpočtovým metódam, zameraným na potreby presnejších astronomických výpočtov. V tejto súvislosti vznikajú pomerne rozsiahle tabuľky empiricky zistených rôznych závislostí, ktoré sú akýmsi predobrazom funkcie a premenných veličín. Babylonská počtárska a meračská tradícia sa udržuje v Asýrii, v Perzii a v helenistickej epoche. Z meračstva treba spomenúť isté začiatky trigonometrie v súvislosti s astronómiou, kde babylonské meračstvo presahuje hranice egyptského meračstva. Zaujímavá je skutočnosť, že Babylončania ( ba aj Číňania) poznali „ Pytagorovu“ vetu dávno pred Pytagorom.

Z histórie vieme, že obchodovanie, zakladanie obchodných prístavov, obchodných osád v stredomorí malo vplyv na rozšírenie matematických poznatkov. Tajomné poznatky „kalendárinkov“ Nílu, Eufratu a Tigrisu sa „zneužili“ pre veľmi praktické ciele. Meranie polohy a pohybu hviezd sa stalo samozrejmou súčasť náuky o námornej plavbe. Počtárstvo týchto zbohatnutých obchodníkov sa stalo majetkom širšieho okruhu ľudí než počtárstvo egyptských kňazov a pisárov. To malo asi nemalý vplyv na vývoj počtárstva a meračstva v Babylone a v nástupníckych štátoch, kde sa „svetský“ živel zmocňuje poznatkov omnoho skôr ako v ortodoxnom Egypte. To je jedna z ciest, ktorou sa tajomstvá predrali do šírych diaľav (pripomíname, že i spôsob zápisu zachovaných záznamov prezrádza úpornú snahu formulovať veci tak, aby im nezasvätení neporozumeli). Druhá cesta vedie cez praktické pokyny pri veľkých stavbách, ktoré sa neobišli bez istých geometrických poznatkov. Aj najtajomnejšie zdôvodnené návody, ako merať a stavať podľa nákresov v piesku, ako nájsť pravý uhol a merať iné uhly, museli byť nakoniec konkrétnymi návodmi, ak mali viesť k cieľu. Najzákladnejšie meračské poznatky, spojené s aplikáciou v stavebníctve, sa nevyhnutne rozšírili medzi široké vrstvy stavebných remeselníkov a skúsených školených otrokov. Skrátka, pozoruhodné egyptské stavby potvrdzujú vysokú úroveň meračov starého Egypta.

História hromadenia predpokladov pre vznik geometrie sa nelíši od histórie tvorby predpokladov pre vznik aritmetiky. Prvé hmlisté zárodky geometrických pojmov a poznatkov sa objavujú určite už v dobách, o ktorých niet záznamov. Vznikali nevyhnutne v procese praktickej činnosti ľudí. Príroda sama dávala na to dostatok podnetov. Kotúč Mesiaca v splne a oblúk dúhy, to boli prvé príklady na okrúhlosť, ktorú predbežne chápali ako prídavné meno. Rovná hladina tichého jazera, to bola konkrétna „rovina“. Lúč Slnka, kmeň rastúceho štíhleho stromu, to boli konkrétne „priamky“. Isteže to neboli rovné čiary, ani trojuholníky, štvorce, kružnice, s ktorými sa ľudia stretávali v prírode. Keď sa však človek, sledujúc svoje praktické ciele, aktívne staval k prírode, menil jej tvárnosť, zhotovoval predmety, stále viac a viac si všímal pravidelné formy. Mnohokrát človek musel formovať materiál, aby si mohol osvojiť predstavu, že materiálu pridáva „tvar“ , teda niečo , čo prv materiálu chýbalo, čo mu predtým nepatrilo, a čo teda možno abstrahovať do materiálu a jeho akosti. K tvorbe abstraktných geometrických pojmov prispela praktická činnosť. Najmä poľnohospodárska výrobná činnosť vyžadovala merať dĺžky, určovať vzdialenosti, odhaľovať plošný obsah a objem. Pomaly a postupne dochádza k objavom prvých geometrických závislostí. Tak s praktickej činnosti ľudí a z potrieb tejto praxe vyrastali predpoklady pre zrod geometrie.

Egypťania a Babylončania vedeli skutočne vypočítať obsahy a objemy, s presnosťou poznali vzťah obvodu kruhu k priemeru a pod. Ale táto „geometria“ nebola ešte teóriou. Bolo to, podobne ako u vtedajšej „aritmetiky“, iba zhrnutie istých pravidiel odvodených zo skúsenosti. Asi v 7. storočí pred n.l. prenikla egyptská „geometria“ do Grécka, kde ju rozvinuli do teórie.

V pôvodne nerozvinutej gréckej spoločnosti nebolo takej triedy, takej vrstvy, ktorá by bránila šíreniu poznatkov. O to dychtivejšie a rýchlejšie si osvojovali skúsenosti hvezdárov – amatérov z obchodných lodí. Gréci pracovali ako remeselníci v Egypte, kde sa učili praktickej geometrii. Po mori aj po suchu, priamo aj sprostredkovane (obchodovanie s Feničanmi), sa dostávali do styku s výkvetom kultúry celého antického sveta s jeho bohatými skúsenosťami. Tak sa stalo, že Gréci boli schopní vybudovať pyramídu logiky, ktorá ohlasovala zrod nového. Bola prísľubom budúcnosti.

Matematika v Číne

Všeobecne sa uvádza, že zakladateľmi matematiky boli starí Gréci. Skutočnosti to však zodpovedá iba vtedy, ak pod založením rozumieme dovŕšenie logickej výstavby základov matematiky. Bolo by však nesprávne chápať neobyčajne veľký prínos antickej gréckej kultúry k rozvoju matematiky tak, že iba ona priniesla prvé seriózne práce o matematike. Veď veľmi dôležité všeobecné geometrické pravidlá stanovili Číňania asi 500 rokov pred Grékmi.

Podobne ako v Egypte a Mezopotámii potreby rozvinutej spoločnosti v Číne dávajú bezprostredný podnet pre získanie poznatkov o počítaní a meraní. Počtárstvo a meračstvo bolo bezprostredne spojené so spoločenskou praxou. Veľké stavby (napr. Veľký čínsky múr, 221 – 206 pred n. l.), zavlažovacie systémy, cesty vyžadovali ucelené poznatky z astronómie a matematiky. Preto si práve matematika v tejto spoločnosti získala významné postavenie. Od 7. storočia museli uchádzači o štátnu službu skladať skúšku zo znalosti konfuciánskych klasikov (filozofia) a matematiky. Hlavnou učebnicou matematiky bol traktát Matematika v deviatich knihách, v nej sa nachádzali rozpracované algoritmy na riešenie určitých typov úloh. Vedeli riešiť sústavy lineárnych rovníc, niektoré kvadratické a diofantovské rovnice. Čínska aritmetika dosiahla veľmi vysokú úroveň. Čínski učenci už v 2. a 1. storočí pred n.l. opisujú pravidlá aritmetického riešenia systému troch rovníc prvého stupňa. Prvýkrát používali pri výpočtoch záporné čísla a formulujú pravidlá narábania so zápornými množstvami. Vedeli počítať druhú a tretiu mocninu daného čísla. V úlohách z praktickej geometrie používali podobnosť trojuholníkov, Pytagorovu vetu.

Je nesporné, že zo začiatku mali Číňania značný náskok pred ranými európskymi civilizáciami. Ich tvorcovia kalendára, počtári a merači netvorili výhradnú a uzavretú spoločenskú vrstvu, ako to bolo napríklad v Egypte. Zdá sa však, že rozšíreniu získaných poznatkov a ďalšiemu rozkvetu bránilo v Číne príliš zložité písmo, osvojenie ktorého bolo spojené s dlhým a nákladným vyučovaním. Faktom však zostáva, že uvedený náskok si Číňania dlho neudržali.

Úroveň poznatkov predvedeckej etapy rozvoja matematiky, je produktom státisísročného poznávacieho procesu celého ľudstva (nielen Egypta, Mezopotámie, Číny), ktoré menilo prírodu a tým aj seba. Tento proces prebiehal rýchlejšie, tam kde mal priaznivejšie podmienky.

Zdroj: A. Kotzig, Matematika a spoločnosť

Rudolf Zrebný

Som obyčajný človek, ktorý má rád matematiku. Aj to je dôvod, prečo som sa stal učiteľom matematiky a vo voľných chvíľach pracujem na webe pohodovamatematika.sk. Časť voľného času venujem tvorbe webových stránok a bicyklovaniu v prírode. Inak sa snažím väčšinu dňa prežiť s mojou krásnou rodinkou.