Pridaj na:
Facebook |
Twitter |
Vybrali.sme
Lineárne rovnice, riešenie lineárnych rovníc
Lineárnou rovnicou s neznámou x nazývame každú rovnicu tvaru ax + b = 0, kde a, b sú reálne čísla a a ≠ 0.
Pri riešení môžu nastať 3 prípady:
- ak a≠0, potom ax = -b a rovnica má práve jeden koreň x = -b/a;
- ak a = b = 0, po úprave dostaneme 0 = 0 a to je pravdivý výrok (rovnosť), takže pôvodná rovnica má nekonečne veľa riešení resp. koreňom tejto rovnice je každé reálne číslo;
- ak a = 0, b ≠ 0, po úprave dostaneme 0 = -b, a keďže b ≠ 0, tak sme dostali nepravdivú rovnosť - pôvodná rovnica nemá žiadne riešenie.
Príklad 1:
Riešte rovnicu
s neznámou x ∈ R.
Riešenie:
Teda množina riešení danej rovnice je P = {-2}.
Môžeme si po krokoch povedať, ako sme postupovali:
- najskôr odstránime zátvorky - v našom prípade vynásobením;
- nezabudnite, že násobíme každý člen výrazu v zátvorke;
napr. 2 · (3x - 7) - 5 = 6x - 14 - 5, teda násobím len výraz v zátvorke;
je to akoby sme prečítali „dva krát zátvorka mínus päť“
ale 2 · (3x - 7 - 5) = 6x - 14 - 10 = 6x - 24, násobíme aj číslo -5, lebo sa nachádza v zátvorke
- odstránime zlomky (alebo zjednodušíme ľavú a pravú stranu rovnice a zlomky odstránime neskôr - ako v predchádzajúcom príklade);
zlomky odstránime tak, že ľavú aj pravú stranu rovnice násobíme najmenším spoločným násobkom všetkých menovateľov (pozrite: hľadanie najmenšieho spoločného násobku dvoch čísel)
- zjednodušíme obe strany rovnice a následne presunieme jednočleny s neznámou na jednu stranu rovnice ( vyberiem si ľavú alebo pravú ) a čísla na druhú stranu
- opäť zjednodušíme a následne celú rovnicu delíme koeficientom pred neznámou, v našom prípade to bolo číslo -6;
- skúšku správnosti prevedieme dosadením výsledku do zadania
- ak sa Ľ = P, tak zapíšeme riešenie v tvare napr. K={-2} resp. P={-2}.
A teraz ešte niekoľko riešených príkladov
Ak sa vám prvý príklad zdal náročný, tak nasledovné začnú od najjednoduchších.
Príklad 2:
Riešte rovnicu 5x - 3 = 7
Riešenie:
| 5x - 3 = | 7 | /+3 |
| 5x = | 10 | / :5 |
| x = | 2 |
Skúška správnosti:
Ľ = 5 · 2 - 3 = 10 - 3 = 7
P = 7
Ľ = P
Teda množina riešení danej rovnice je P = {2}.
Príklad 3:
Riešte rovnicu 2x - 7 = 5x + 9
Riešenie:
| 2x - 7 = | 5x + 9 | / -5x +7 |
| 2x - 5x = | 9 + 7 | |
| -3x = | 16 | / :(-3) |
| x = | -
 |
Skúška:
Ľ = 2 · (-
) - 7 = -
- 7 = -
P = 5 · (-
) + 9 = -
+ 9 = -
Ľ = P
Teda množina riešení danej rovnice je P = {-
}.
Príklad 4:
Riešte rovnicu:
a - 7 = -
+ 3a
Riešenie:
|
a - 7 = | -
+ 3a | / · 10 |
| 25a - 70 = | -16 + 30a | / -30a + 70 |
| -5a = | 54 | / :(-5) |
| a = | -
 |
Skúška:
Ľ =
· (-
) - 7 = -27 - 7 = - 34
P = -
+ 3 · -
= -
-
= -
= -34
Ľ = P
Teda množina riešení danej rovnice je P = {-
}.
Príklad 5:
Riešte rovnicu
· (6x -
) = 3 - (
x + 2)
Riešenie:
|
· (6x -
) = | 3 - (
x + 2) | |
4x -
 = | 3 -
x - 2 | / · 3 |
| 12x - 1 = | 9 - 2x - 6 | |
| 12x - 1 = | 3 - 2x | / +2x +1 |
| 14x = | 4 | / :14 |
| x = |
 =
 |
Skúška:
Ľ =
· (6 ·
-
) =
-
=
=
P = 3 -
·
- 2 = 1 -
=
=
Ľ = P
Teda množina riešení danej rovnice je P = {
}.
Grafické riešenie lineárnej rovnice:
Grafické riešenie spočíva v tom, že si pomocou ekvivalentných úprav upravíme rovnicu na tvar f1(x)=f2(x) alebo na tvar f(x)=0.
V prvom prípade zostrojíme grafy funkcií f1, f2, kde x-ové súradnice priesečníkov grafov predstavujú približné riešenie danej rovnice závislé od presnosti rysovania.
V druhom prípade zostrojíme graf funkcie f(x) a približným riešením danej rovnice budú priesečníky s osou x.
V prípade lineárnej funkcie je samozrejme jednoduchšie využiť algebraické riešenie.
Prihláste sa na Odber noviniek
Vyhľadať na Pohodovej matematike
Odporúčame:
Viacúčelová posteľ s perfektným úložným priestorom je určená do Tvojej izby.
Citát
To, že čítaš v učebnici stranu 64 ešte neznamená, že vieš, čo sa nachádza na predchádzajúcich 63 stranách.
Péter Gálik
