Lineárne rovnice, riešenie lineárnych rovníc
Lineárnou rovnicou s neznámou x nazývame každú rovnicu tvaru ax + b = 0, kde a, b sú reálne čísla a a ≠ 0.
Pri riešení môžu nastať 3 prípady:
- ak a≠0, potom ax = -b a rovnica má práve jeden koreň x = -b/a;
- ak a = b = 0, po úprave dostaneme 0 = 0 a to je pravdivý výrok (rovnosť), takže pôvodná rovnica má nekonečne veľa riešení resp. koreňom tejto rovnice je každé reálne číslo;
- ak a = 0, b ≠ 0, po úprave dostaneme 0 = -b, a keďže b ≠ 0, tak sme dostali nepravdivú rovnosť – pôvodná rovnica nemá žiadne riešenie.
Príklad 1:
Riešte rovnicu 
s neznámou x ∈ R.
Riešenie:
Teda množina riešení danej rovnice je P = {-2}.
Môžeme si po krokoch povedať, ako sme postupovali:
- najskôr odstránime zátvorky – v našom prípade vynásobením;
- nezabudnite, že násobíme každý člen výrazu v zátvorke;napr. 2 · (3x – 7) – 5 = 6x – 14 – 5, teda násobím len výraz v zátvorke;
je to akoby sme prečítali „dva krát zátvorka mínus päť“ale 2 · (3x – 7 – 5) = 6x – 14 – 10 = 6x – 24, násobíme aj číslo -5, lebo sa nachádza v zátvorke
- odstránime zlomky (alebo zjednodušíme ľavú a pravú stranu rovnice a zlomky odstránime neskôr – ako v predchádzajúcom príklade);zlomky odstránime tak, že ľavú aj pravú stranu rovnice násobíme najmenším spoločným násobkom všetkých menovateľov (pozrite: hľadanie najmenšieho spoločného násobku dvoch čísel)
- zjednodušíme obe strany rovnice a následne presunieme jednočleny s neznámou na jednu stranu rovnice ( vyberiem si ľavú alebo pravú ) a čísla na druhú stranu
- opäť zjednodušíme a následne celú rovnicu delíme koeficientom pred neznámou, v našom prípade to bolo číslo -6;
- skúšku správnosti prevedieme dosadením výsledku do zadania
- ak sa Ľ = P, tak zapíšeme riešenie v tvare napr. K={-2} resp. P={-2}.
A teraz ešte niekoľko riešených príkladov
Ak sa vám prvý príklad zdal náročný, tak nasledovné začnú od najjednoduchších.
Príklad 2:
Riešte rovnicu 5x – 3 = 7
Riešenie:
| 5x – 3 = | 7 | /+3 |
| 5x = | 10 | / :5 |
| x = | 2 |
Skúška správnosti:
Ľ = 5 · 2 – 3 = 10 – 3 = 7
P = 7
Ľ = P
Teda množina riešení danej rovnice je P = {2}.
Príklad 3:
Riešte rovnicu 2x – 7 = 5x + 9
Riešenie:
| 2x – 7 = | 5x + 9 | / -5x +7 |
| 2x – 5x = | 9 + 7 | |
| -3x = | 16 | / :(-3) |
| x = | –  |
Skúška:
Ľ = 2 · (- ) – 7 = – 
– 7 = – 
P = 5 · (- ) + 9 = – 
+ 9 = –
Ľ = P
Teda množina riešení danej rovnice je P = {- }.
Príklad 4:
Riešte rovnicu: 
a – 7 = – 
+ 3a
Riešenie:
| a – 7 = |
– + 3a |
/ · 10 |
| 25a – 70 = | -16 + 30a | / -30a + 70 |
| -5a = | 54 | / :(-5) |
| a = | –  |
Skúška:
Ľ = · (- ) – 7 = -27 – 7 = – 34
P = – + 3 · – = – – 
= – 
= -34
Ľ = P
Teda množina riešení danej rovnice je P = {- }.
Príklad 5:
Riešte rovnicu 
· (6x – 
) = 3 – ( x + 2)
Riešenie:
| · (6x – ) = |
3 – ( x + 2) |
|
4x –  = |
3 – x – 2 |
/ · 3 |
| 12x – 1 = | 9 – 2x – 6 | |
| 12x – 1 = | 3 – 2x | / +2x +1 |
| 14x = | 4 | / :14 |
| x = |  =  |
Skúška:
Ľ = · (6 · – ) = 
– = 
= 
P = 3 – · – 2 = 1 – 
= 
=
Ľ = P
Teda množina riešení danej rovnice je P = { }.
Grafické riešenie lineárnej rovnice:
Grafické riešenie spočíva v tom, že si pomocou ekvivalentných úprav upravíme rovnicu na tvar f1(x)=f2(x) alebo na tvar f(x)=0.
V prvom prípade zostrojíme grafy funkcií f1, f2, kde x-ové súradnice priesečníkov grafov predstavujú približné riešenie danej rovnice závislé od presnosti rysovania.
V druhom prípade zostrojíme graf funkcie f(x) a približným riešením danej rovnice budú priesečníky s osou x.
V prípade lineárnej funkcie je samozrejme jednoduchšie využiť algebraické riešenie.