Logika a teória množín - výklad učivaMnožiny - výklad učivaVýklad učiva

Vzťahy medzi množinami, operácie s množinami

Rudolf Zrebný

Rovnosť množín: Množiny A a B sa rovnajú, keď každý prvok množiny A patrí množine B a každý prvok množiny B patrí množine A.

A = B ⇔ (∀x: x∈A ⇔ x∈B)

Príklad 1:

Zistite či sa rovnajú množiny A = {2; 4; 6; 8} a B = {x∈Z+; 2|x ∧ x<10}.

Riešenie:

Množina A je zapísaná vymenovaním prvkov a množina B charakteristickou vlastnosťou. Zapíšeme i množinu B vymenovaním prvkov. Označenie množiny Z+ predstavuje kladné celé čísla, pre ktoré platí 2|x (sú deliteľné dvomi) ∧ (a zároveň) x<10 (sú menšie ako 10). Obe podmienky spĺňajú len čísla 2, 4, 6, 8 , teda množinu B môžeme zapísať vymenovaním prvkov nasledovne: B = {2; 4; 6; 8}. Vidíme, že množiny A a B obsahujú tie isté prvky a teda sa rovnajú .

Inklúzia množín: Množina A je podmnožinou množiny B práve vtedy, ak všetky prvky množiny A patria zároveň aj množine B.

A ⊂ B ⇔ (∀x: x∈A ⇒ x∈B)

Príklad 2:

(Pozn.: Jednotlivé prvky množiny vpisujte do pripraveného textového poľa. Jednotlivé čísla oddeľujte čiarkou a nepoužívajte medzery. Za posledným číslom čiarku nepíšte. Označením možnosti Kontrola a stlačením tlačidla Odošli zistíte, či ste počítali správne.)

Zistite či množina C = {3; 4; 5} je podmnožinou množiny B = {x∈Z; -3<x≤5}.

Riešenie:

Množinu B zapíšeme vymenovaním prvkov nasledovne: B={} Všetky prvky množiny C aj množine B, preto množina C podmnožinou množiny B.

Kontrola Správne riešenie      

Zjednotenie množín: Zjednotením množín A a B nazývame množinu A ∪ B, ktorá obsahuje prvky patriace aspoň do jednej z množín A, B, teda obsahuje prvky, ktoré patria do množiny A alebo do množiny B a okrem nich neobsahuje žiadne iné prvky.

x ∈ A ∪ B ⇔ (x∈A ∨ x∈B)

Príklad 3:

(Pozn.: Jednotlivé prvky zjednotenia vpisujte do pripraveného textového poľa. Jednotlivé čísla oddeľujte čiarkou a nepoužívajte medzery. Za posledným číslom čiarku nepíšte. Označením možnosti Kontrola a stlačením tlačidla Odošli zistíte, či ste počítali správne.)

Zapíšte prvky, ktoré patria zjednoteniu množín E = {x∈N; 2≤x<6}, F = {x∈Z;x2=9}.

Riešenie:

Množinu E zapíšeme vymenovaním prvkov nasledovne: E={ } Množinu F zapíšeme vymenovaním prvkov nasledovne: F={ } Zjednotenie množín E, F zapíšeme: E∪F={ }

Kontrola Správne riešenie      

Prienik množín: Prienikom množín A a B nazývame množinu A ∩ B, ktorá obsahuje všetky prvky patriace súčasne do oboch množín A, B. Ak je prienikom množín A, B prázdna množina (A∩B=∅), nazývame množiny A, B disjunktnými .

x ∈ A ∩ B ⇔ (x∈A ∧ x∈B)

Príklad 4:

(Pozn.: Jednotlivé prvky prieniku vpisujte do pripraveného textového poľa. Čísla oddeľujte čiarkou a nepoužívajte medzery. Za posledným číslom čiarku nepíšte. Označením možnosti Kontrola a stlačením tlačidla Odošli zistíte, či ste počítali správne.)

Zapíšte prvky, ktoré patria prieniku množín G, H, kde G je množina všetkých nepárnych prirodzených čísel menších ako 10 a H = {-1,1,3,5,7}.

Riešenie:

Množinu G zapíšeme vymenovaním prvkov nasledovne: G={ } Prienik množín G, H zapíšeme: G∩H={ }

Kontrola Správne riešenie      

Rozdiel množín: Rozdielom množín A a B nazývame množinu A – B (A \ B), ktorá obsahuje tie prvky množiny A, ktoré súčasne nepatria do množiny B.

x ∈ A – B ⇔ (x∈A ∧ x∉B)

Príklad 5:

(Pozn.: Jednotlivé prvky množín vpisujte do pripraveného textového poľa. Čísla oddeľujte čiarkou a nepoužívajte medzery. Za posledným číslom čiarku nepíšte. Označením možnosti Kontrola a stlačením tlačidla Odošli zistíte, či ste počítali správne.)

Zapíšte prvky, ktoré patria rozdielu množín I, J, kde I je množina všetkých prirodzených čísel menších ako 100, ktorých odmocnina je prirodzené číslo väčšie ako 2 a J = {4,5,6,7,8,9}.

Riešenie:

Množinu I zapíšeme vymenovaním prvkov nasledovne: I={ } Rozdiel množín I, J zapíšeme: I-J={ }

Kontrola Správne riešenie      

Doplnok (komplement) množiny: Doplnok množiny A vzhľadom na množinu U je množina A‘U všetkých prvkov množiny U, ktoré nepatria do množiny A.

A‘U = U – A     x ∈ A‘U ⇔ (x∈U ∧ x∉A)

Príklad 6:

(Pozn.: Jednotlivé prvky množín vpisujte do pripraveného textového poľa. Čísla oddeľujte čiarkou a nepoužívajte medzery. Za posledným číslom čiarku nepíšte. Označením možnosti Kontrola a stlačením tlačidla Odošli zistíte, či ste počítali správne.)

Dané sú množiny K = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, L = {-4,-3,5,6,7,11,12}, M = {2,3,4,5}. Určte M‘K∪L.

Riešenie:

Zjednotenie množín K,L zapíšeme vymenovaním prvkov nasledovne: K∪L={ } Doplnok množiny M na množine K∪L zapíšeme: M‘K∪L={ }

Kontrola Správne riešenie      

Symetrický rozdiel množín: Symetrický rozdiel množín A, B tvoria všetky prvky množín A, B, ktoré patria práve jednej z nich.

AΔB=(A-B)∪(B-A)

Niektoré vlastnosti základných operácií na množinách:

Operácia Popis, poznámky
A⊂A Každá množina je súčasne podmnožinou samej seba.
∅⊂A Prázdna množina je podmnožinou každej ľubovoľnej množiny.
A∪A=A Zjednotenie tých istých množín je tá istá množina (idempotentnosť).
A∪∅=A Prázdna množina je neutrálny prvok vzhľadom na zjednotenie.
A∪B=B∪A Operácia zjednotenie množín je komutatívna.
A∪(B∪C)=(A∪B)∪C Operácia zjednotenie množín je asociatívna.
A∩A=A Prienik tých istých množín je opäť tá istá množina (idempotentnosť).
A∩∅=∅ Prienikom ľubovoľnej množiny s prázdnou množinou je prázdna množina.
A∩B=B∩A Operácia prienik množín je komutatívna.
A∩(B∩C)=(A∩B)∩C Operácia prienik množín je asociatívna.
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) Distributívne zákony.
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
(A‘)’=A Dvojitý doplnok.
(A∪B)’=A’∩B‘ (A∩B)’=A’∪B‘ De Morganove pravidlá.
A-B=A∩B‘

 

Rudolf Zrebný

Som obyčajný človek, ktorý má rád matematiku. Aj to je dôvod, prečo som sa stal učiteľom matematiky a vo voľných chvíľach pracujem na webe pohodovamatematika.sk. Časť voľného času venujem tvorbe webových stránok a bicyklovaniu v prírode. Inak sa snažím väčšinu dňa prežiť s mojou krásnou rodinkou.