Príklad č. 1
Vypočítajte a výsledok napíšte v tvare desatinného čísla.
Riešenie:
Výsledok: -0,15
Príklad č. 2
Reklama
Máme číslo A = 753 672.
Vypočítajte rozdiel čísla A zaokrúhleného na stovky a čísla A zaokrúhleného na desaťtisíce.
Riešenie:
číslo A zaokrúhlené na stovky: 753 700
číslo A zaokrúhlené na desaťtisíce: 750 000
Rozdiel: 753 700 – 750 00 = 3 700
Výsledok: 3 700
Príklad č. 3
Reklama
Na okbrázku je znázornený rovnoramenný lichobežník CDEF. Veľkosť uhla α je 73°. Vypočítajte v stupňoch veľkosť uhla β.
Riešenie:
Do obrázka si doplníme uhly γ a δ.
Keďže lichobežník je rovnoramenný, tak γ = α = 73°.
Uhly γ a δ sú súhlasné, preto δ = 73°.
Uhly β a δ sú susedné, preto β = 180° – 73° = 107°
Výsledok: 107°
Príklad č. 4
Štvorec JKLM má strany dĺžky 24 cm. Bod S je stredom strany LM. Vypočítajte obsah štvoruholníka JKSM v cm2.
Riešenie:
Keďže bod S je stredom strany LM, tak dĺžka SM je 12 cm. Štvoruholník JKSM je zároveň pravouhlým lichobežníkom, ako vidíte na obrázku.
Jeho obsah vypočítame pomocou vzorca pre výpočet obsahu lichobežníka:
S = (a+c)⋅v / 2, kde a = JK, c = SM, v = JM
S = (24+12)⋅24 / 2 = 432 cm2
Výsledok: 432
Príklad č. 5
Na obrázku je znázornený trojuholník NET. Bod P je päta výšky tohto trojuholníka z vrcholu T na stranu NE; bod N leží na úsečke PE.
Vieme, že:
|PE| = 16 cm
|TP| = 12 cm
|TE| = 20 cm
|NE| = 7 cm
Zistite obvod trojuholníka NET v cm.
Riešenie:
Doplníme si do obrázka dĺžky jednotlivých úsečiek. Na výpočet obvodu trojuholníka NET potrebujeme poznať dĺžku strany NT.
Trojuholník TPN je pravouhlý s preponou NT a tak môžeme na výpočet strany NT použiť Pytagorovu vetu.
x2 = |PN|2 + |PT|2
x2 = 92 + 122
x2 = 81 + 144
x2 = 225
x = √(225) = 15 cm
A vypočítame obvod ako súčet strán trojuholníka NET.
o = 7 + 20 + 15 = 42 cm
Výsledok: 42
Príklad č. 6
V stĺpcovom diagrame je znázornené umiestnenie Petra Sagana v jednotlivých etapách Tour de France v roku 2016. Všetkých etáp bolo spolu 21. Koľko percent zo všetkých etáp predstavujú tie etapy, v ktorých skončil na 1. až 3. mieste?
Výsledok zaokrúhlite na celé číslo.
Riešenie:
Celkový počet etáp: 21
Počet etáp, v ktorých skončil na 1. až 3. mieste: 8
Koľko percent je 8 z 21?
Výpočet je jednoduchý, buď využijeme priamo podiel „časť : celok“ a následne už len vynásobíme číslom 100 alebo použijeme trojčlenku.
1. spôsob:
(8:21)⋅100 = 0,38095⋅100 = 38,09% zaokrúhlené na celé číslo 38%
2. spôsob:
21 …. 100%
8 ….. x%
8:21 = x:100
8⋅100 = 21⋅x
800 = 21x /:21
x = 38,095% ≅ 38%
Výsledok: 38
Príklad č. 7
Reštaurácia bola v čase obeda plne obsadená. Kým v reštaurácii obsluhovali len traja čašníci, hostia čakali na obedové menu v priemere 45 minút. Koľko minút v priemere budú hostia čakať, ak sa k trom obsluhujúcim čašníkom pridajú ešte ďalší dvaja čašníci obsluhujúci rovnako rýchlo?
Riešenie:
V tomto prípade ide o nepriamu úmernosť – čím viac čašníkov, tým kratší čas obsluhovania.
3 čašníci ……………. 45 minút
5 čašníkov ……………… x minút
5:3 = 45:x
5x = 3⋅45
5x = 135 /:5
x = 27 minút
Výsledok: 27
Príklad č. 8
Na hodine fyziky žiaci odhadovali objem smetného koša v triede. Na tabuli je záznam odpovedí 20 žiakov. Skutočný objem tohto smetného koša bol 12 litrov. O koľko litrov sa od tejto hodnoty líši priemerný žiacky odhad?
Riešenie:
Priemerný žiacky odhad (využijeme údaje z tabule):
priemer = súčet hodnôt : počet hodnôt
(3⋅5 + 3⋅6 + 6⋅8 + 1⋅9 + 6⋅10 + 1⋅15):20 =
(15 + 18 + 48 + 9 + 60 + 15):20 = 165:20 = 8,25
Skutočný objem – Priemerný odhad objemu = 12 – 8,25 = 3,75 l
Výsledok: 3,75
Zadanie AQUAPARK
V aquaparku sú rôzne bazény: jeden vírivý, jeden plavecký a dva detské. Odporúčaná doba pobytu vo vírivom bazéne je 15 minút a môžu v ňom byť maximálne 4 osoby. Plavecký a detské bazény majú tvar kvádra a ich rozmery sú uvedené v tabuľke.
Na zadanie AQUAPARK sa vzťahujú úlohy 09 a 10.
Príklad č. 9
Najviac koľko osôb sa môže vystriedať vo vírivom bazéne za 2 hodiny, ak bude dodržaný aj maximálny počet osôb, aj odporúčaná doba pobytu v tomto bazéne?
Riešenie:
2 hodiny = 2⋅60 = 120 minút
Koľko 15 minútových pobytov sa zmestí do 120 minút?
120 : 15 = 8
Na 1 pobyt pripadajú max. 4 osoby, preto celkový počet osôb za 2 hodiny = 8⋅4 = 32
Výsledok: 32
Príklad č. 10
Pri napúšťaní vnútorného detského bazéna bol kvôli poruche vypnutý prívod vody práve vo chvíli, keď bolo v tomto bazéne napustených 15,6 m3 vody. Koľko percent z celkového objemu tohto bazéna bolo napustených do momentu vypnutia prívodu vody?
Riešenie:
Objem vnútorného detského bazéna:
V = d⋅š⋅h = 5⋅8⋅0,6 = 24 m3
Objem napustenej vody: 15,6 m3
Môžeme riešiť napr. trojčlenkou.
24 m3 …………….. 100%
15,6 m3 ……………… x%
15,6:24 = x:100
15,6⋅100 = 24x
1560 = 24x /:24
x = 65%
Výsledok: 65
Príklad č. 11
Brigádnici Ivan, Lea a Dana zarobili spolu 480 eur. Ivan zarobil tretinu z týchto peňazí. Zvyšné peniaze zarobili Lea a Dana v pomere 3:1. Koľko eur zarobila Lea?
A: 240 €
B: 120 €
C: 320 €
D: 80 €
Riešenie:
Ivan zarobil tretinu z celkového zárobku:
480:3 = 160
Zvyšok: 480 – 160 = 320
Lea : Dana = 3 : 1
celkový počet dielov = 3 + 1 = 4
1 diel = 320 : 4 = 80
Lea … 3 diely … 3⋅80 € = 240 €
Výsledok: A
Príklad č. 12
Zuzana má v mobilnom telefóne 5 priečinkov s rôznymi hudobnými štýlmi. V tabuľke sú uvedené ich názvy a počty skladieb, ktoré obsahujú. Doplňte chýbajúce číslo tak, aby pri funkcii náhoidného prehrávania hrala rocková skladba s pravdepodobnosťou 21% ako prvá.
A: 21
B: 32
C: 36
D: 42
Riešenie:
Pravdepodobnosť vypočítame ako podiel priaznivých a všetkých možností. P = m / n
m … priaznivé možnosti … počet rockových skladieb …. označíme x
n … všetky možnosti … súčet všetkých skladieb … 52+11+79+x+16 = 158+x
P = 21% = 0,21
P = m / n
0,21 = x / (158+x) /⋅(158+x)
0,21⋅(158+x) =x
33,18 + 0,21x = x /-0,21x
33,18 = 0,79x /:0,79
x = 33,18:0,79 = 42
Výsledok: D
Vstupný test z chémie vo forme A alebo B riešilo spolu 100 žiakov. Každý z nich mal v odpoveďovom hárku uviesť, ktorú formu testu riešil. Piati žiaci to neurobili.
V kruhovom diagrame na obrázku je znázornené rozdelenie testovaných žiakov podľa toho, ktorú formu testu uviedli.
Pri analýze testovanej vzorky žiakov boli vyslovené dve tvrdenia:
- Je možné, že formu A riešilo o 6 žiakov menej ako formu B.
- Je možné, že formu B riešilo o 11 žiakov viac ako formu A.
Príklad č. 13
Posúďte pravdivosť týchto tvrdení a vyberte správnu odpoveď.
A: Len prvé tvrdenie je pravdivé.
B: Len druhé tvrdenie je pravdivé.
C: Obidve tvrdenia sú pravdivé.
D: Obidve tvrdenia sú nepravdivé.
Riešenie:
Testová forma A … 42 žiakov
Testová forma B … 53 žiakov
Neuviedli … 5 žiaci
Ak tí piati riešili A, potom
A = 42+5 = 47; B = 53; B – A = 53 – 47 = 6, teda formu A by riešilo o 6 žiakov menej ako formu B, teda 1. tvrdenie je pravdivé.
Ak tí piati riešili B, potom
A = 42; B = 53 + 5 = 58; B – A = 58 – 42 = 16, čo nevyhovuje 2. tvrdeniu.
Ešte overíme, či nemohli z tých piatich niektorí riešiť A a niektorí B.
Z piatich teda A riešilo x žiakov a B riešilo 5-x žiakov. Číslo x môže byť celé číslo z intervalu <0;5> Potom:
A = 42 + x
B = 63 + 5 – x
Predpokladáme, že rozdiel bude 11.
B – A = 11
63 + 5 – x – (42 + x) = 11
68 – x – 42 – x = 11
26 – 2x = 11 /-26
– 2x = -15 /:(-2)
x = 7,5
Výsledok nevyhovuje podmienke, preto 2. tvrdenie neplatí.
Výsledok: A
Príklad č. 14
A: 0,8
B: 0,7
C: 0,5
D: 0,4
Riešenie:
Výsledok: B
Príklad č. 15
Vyberte mocninu, ktorá má najvyššiu hodnotu.
A: 52
B: 43
C: 34
D: 25
Riešenie:
Mocnina je vlastne skrátený zápis pre súčin, preto si najskôr jednotlivé mocniny vypočítame a potom porovnáme.
A: 52 = 5⋅5 = 25
B: 43 = 4⋅4⋅4 = 64
C: 34 = 3⋅3⋅3⋅3 = 81
D: 25 = 2⋅2⋅2⋅2⋅2 = 32
Najvyššiu hodnotu má mocnina 34.
Výsledok: C
Najčastejšie formáty papiera majú označenie pozostávajúce z písmena a číslice, napr. A4.
Základným formátom radu A je A0. Ďalšie formáty tohto radu (A1, A2, A3, …) vznikajú postupným strihaním listu papiera na polovicu, kolmo na dlhšiu stranu.
Príklad č. 16
Najviac na koľko papierov formátu A6 možno rozstrihnúť papier formátu A2?
A: 8
B: 16
C: 32
D: 64
Riešenie:
Riešiť môžeme napr. tak, že si daný papier pomocou čiar „rozstriháme“ a zistíme, že vznikne 16 papierov formátu A6.
Alebo využijeme vlastnosť že z väčšieho papiera vznikne delením na polovicu ďalší formát, preto:
A2 = 2⋅A3 = 2⋅2⋅A4 = 2⋅2⋅2⋅A5 = 2⋅2⋅2⋅2⋅A6 = 16⋅A6
Výsledok: B
Príklad č. 17
Drevenú kocku s hranou dĺžky 4 cm sme natreli po celom povrchu zelenou farbou. Potom sme ju rozrezali na malé kocky s hranou dĺžky 1 cm. Počet kociek, ktoré majú práve dve steny zafarbené nazeleno je
A: 8
B: 12
C: 16
D: 24
Riešenie:
Na každej hrane sa nachádzajú 2 kocky s práve dvoma zelenými stenami. Keďže hrán má kocka 12, tak kociek s práve dvoma zelenými stenami je 2⋅12 = 24
Pozrite si aj obrázok:
Výsledok: D
Príklad č. 18
Na ľavej strane rovnice je výraz x-2,4. Zistite, ktorý z výrazov patrí na pravú stranu rovnice, aby rovnica mala koreň x = 2,8.
A: 3 ⋅ (x – 1,1)
B: 2 ⋅ (3 – x)
C: 3 ⋅ (x + 1,1)
D: 2 ⋅ (3 + x)
Riešenie:
Pri riešení si pomôžeme skúškou správnosti, pričom za x dosadíme koreň 2,8:
Ľavá strana rovnice: x – 2,4 = 2,8 – 2,4 = 0,4
Pravá strana rovnice – postupne preveríme možné pravé strany:
A: 3 ⋅ (x – 1,1) = 3 ⋅ (2,8 – 1,1) = 3 ⋅ 1,7 = 5,1
B: 2 ⋅ (3 – x) = 3 ⋅ (3 – 2,8) = 2 ⋅ 0,2 = 0,4
C: 3 ⋅ (x + 1,1) = 3 ⋅ (2,8 + 1,1) = 3 ⋅ 3,9 = 11,7
D: 2 ⋅ (3 + x) = 2 ⋅ (3 + 2,8) = 2 ⋅ 5,8 = 11,6
Je zrejmé, že pravou stranou rovnice je výraz 2 ⋅ (3 – x), keďže v tom prípade Ľ = P.
Výsledok: B
Zadanie KÚPA BYTU
Manželia Novákovci sa rozhodli pre kúpu bytu. V realitnej kancelárii im ponúkli 4 voľné byty. Údaje o jednotlivých bytoch sú uvedené v tabuľke.
Na zadanie KÚPA BYTU sa vzťahujú úlohy č. 19 a 20.
Príklad č. 19
Pani Nováková navrhovala byt č. 2, lebo podľa nej má zo všetkých ponúkaných bytov najnižšiu cenu za 1 m². Pán Novák navrhoval byt č. 3, lebo je najlacnejší.
Ktorý z nich správne odôvodnil svoj návrh?
A: Len pani Nováková.
B: Len pán Novák.
C: Obidvaja.
D: Ani jeden.
Riešenie:
Aby sme overili tvrdenie p. Novákovej, potrebujeme zistiť cenu za 1 m² pre každý byt.
byt č. 1 – 65 000 : 70 = 928,27 €
byt č. 2 – 32 000 : 56 = 571,43 €
byt č. 3 – 26 000 : 42 = 619,05 €
byt č. 4 – 47 000 : 65 = 723,08 €
Je zrejmé, že najnižšiu cenu za 1 m² má byt č. 2, teda pani Nováková má pravdu.
Aby sme overili tvrdenie pána Nováka, stačí porovnať celkovú cenu jednotlivých bytov. Je zrejmé, že najnižšiu cenu má byt č. 3, čiže aj pán Novák správne navrhoval byt č. 3 ako najlacnejší.
Svoj návrh obidvaja odôvodnili správne.
Výsledok: C
Príklad č. 20
Nakoniec sa rozhodli pre dvojizbový byt v pôvodnom stave. Vybrali si ten s väčšou rozlohou. Majú našetrených 17 000 eur, zvyšnú časť ceny si požičajú od banky. Splácať budú 120 eur mesačne po dobu 15 rokov. O koľko eur zaplatia banke viac oproti požičanej sume?
A: 4 600 €
B: 5 400 €
C: 6 200 €
D: 6 600 €
Riešenie:
Cena bytu: 32 000 (byt č. 2 – 2-izbový, neprerobený, s väčšou rozlohou)
Našetrených … 17 000 €
Požičané od banky … 32 000 – 17 000 = 15 000
Banke splatia …. 120 € ⋅ 12 ⋅ 15 = 21 600 €
Naviac zaplatia … 21 600 – 15 000 = 6 600 €
Výsledok: D
Zdroj zadaní príkladov: NIVAM – Národný inštitút vzdelávania a mládeže. Texty príkladov a grafické objekty boli prepisované a NIVAM nezodpovedá za chyby vzniknuté z tohto dôvodu. Autor riešenia príkladov je Ing. Rudolf Zrebný. Za správnosť riešenia, postupu nenesie zodpovednosť NIVAM, ale autor riešenia.
Reklama