Množina a jej určenie, konečná a nekonečná množina

Pojem množina je jeden zo základných pojmov modernej matematiky.

Množina je súbor navzájom rôznych (rozlíšiteľných) matematických alebo iných objektov.

  • množina všetkých prirodzených čísel,
  • množina všetkých celých čísel menších ako 7,
  • množina všetkých žiakov vašej školy nosiacich okuliare, …

Množiny sa väčšinou označujú veľkými písmenami, napr. A, B, N a ich obsah (objekty) sa zapisujú do zložených zátvoriek.

Napr. množinu A obsahujúcu práve dva objekty a, b zapíšeme A = {ab}.

Objekty, ktoré patria do danej množiny nazývame prvky množiny. Obvykle ich označujeme malými písmenami x, y, c, …

Množinu môžeme považovať za určenú jedine vtedy, ak o každom objekte vieme jednoznačne povedať, či do danej množiny patrí alebo nie.


Príklad:

Pozorne si prečítajte nasledovné vety.

Prvky množiny A sú čísla 2, 3, 4.

Prvky množiny A sú práve čísla 2, 3, 4.

Môžeme v oboch prípadoch hovoriť, že množina A je jednoznačne určená?

Nie.

Pýtate sa prečo?

V prvom prípade hovoríme, že „Prvky množiny A sú čísla 2, 3, 4.“ Ale … čo ak množina A = {1,2,3,4,5} alebo {1,2,3,4,5,7} alebo {2,3,4,5,…} alebo … stále platí, že prvkami množiny A sú čísla 2, 3, 4, čiže v tomto prípade množina A nie je jednoznačne určená.

V druhom prípade sme použili slovíčko práve, ktoré spôsobilo, že do množiny A patria práve a jedine čísla 2, 3, 4, čiže množina je jednoznačne určená.


Ak chceme vyjadriť, že prvok je prvkom množiny M, tak zapíšeme x ∈ M a čítame: x je prvkom množiny M alebo x patrí množine M. Ak d nie je prvkom množiny B, tak zapíšeme d ∉ B.

Každá množina je určená buď

  • vymenovaním všetkých jej prvkov: B = {abcd},
  • alebo určením charakteristických vlastností prvkov, ktoré do danej množiny patria: B = {x∈Z; 3 | x} je zápis množiny B, ktorej prvky sú celé čísla deliteľné číslom 3.

Množina, ktorá neobsahuje žiadny prvok, sa nazýva prázdna. Jej obsah sa vyjadruje znakom ∅ alebo {}. Množiny obsahujúce aspoň jeden prvok nazývame neprázdne.

Každú množinu, ktorá obsahuje konečný počet prvkov nazývame konečnou množinou. Konečný počet prvkov je daný prirodzených číslom resp. nulou, čiže i prázdna množina je konečnou množinou.

Napr.: množina všetkých prirodzených čísel menších ako 7; množina všetkých celých čísel, ktorých druhá mocnina je rovná 25; …

Množinu, ktorá nie je konečná nazývame nekonečnou množinou .

Napr.: množina všetkých prirodzených čísel väčších ako 18; množina všetkých celých čísel, ktorých tretia mocnina je väčšia ako 49; …


Príklad 1:

Určte množinu A všetkých celých čísel, ktoré sú väčšie ako –2 a menšie než 3
a) vymenovaním prvkov
b) charakteristickou vlastnosťou.
Riešenie:
a) Väčšie ako -2 a menšie ako 3 sú celé čísla -1, 0, 1, 2. Teda množinu A zapíšeme: A = {-1, 0, 1, 2}
b) Charakteristickou vlastnosťou danú množinu zapíšeme nasledovne:
A = {x∈Z; -2<x<3}

Príklad 2:

Určte množinu B všetkých prirodzených čísel, ktoré sú deliteľné číslom 3 a zároveň sú menšie než 13
a) vymenovaním prvkov
b) charakteristickou vlastnosťou.
Riešenie:
a) Deliteľné číslom 3 a zároveň menšie než 13 sú prirodzené čísla 0, 3, 6, 9, 12. Teda množinu B zapíšeme: B = {0, 3, 6, 9, 12}
b) Charakteristickou vlastnosťou danú množinu zapíšeme nasledovne:
B = {x∈N; 3|x ∧ x<13}

Rudolf Zrebný

Som obyčajný človek, ktorý má rád matematiku. Aj to je dôvod, prečo som sa stal učiteľom matematiky a vo voľných chvíľach pracujem na webe pohodovamatematika.sk. Časť voľného času venujem tvorbe webových stránok a bicyklovaniu v prírode. Inak sa snažím väčšinu dňa prežiť s mojou krásnou rodinkou.