Kvadratická funkcia

Kvadratickou funkciou nazývame každú funkciu

f: y = ax2 + bx + c, kde a≠0, a, b, c ∈ R

Ak by sme použili koeficienty a = 1, b = c = 0, tak by sme dostali kvadratickú funkciu

f: y = x2,

ktorá je často nazývaná základná kvadratická funkcia. Neskôr sa k tejto funkcii ešte vrátime.

Skôr ako sa pustíme do riešenia konrétnych zadaní, spravíme si malé predstavenie kvadratickej funkcie – jej grafu a vlastností.

Graf kvadratickej funkcie:

Grafom každej kvadratickej funkcie je krivka, ktorú nazývame parabola. Parabola je súmerná podľa osi o rovnobežne so súradnicovou osou y. Jej tvar vidíte nižšie na obrázku.


Graf kvadratickej funkcie f: y = x2 – 4x + 5

Graf kvadratickej funkcie y = x2 - 4x + 5


Bod V[2; 3] na obrázku je v tomto prípade minimom funkcie a nazývame ho vrchol paraboly.

Pri určovaní súradníc vrchola V môžeme postupovať dvoma spôsobmi:

  • úpravou na štvorec, kde využijeme v pozmenenom tvare vzťah (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
    • (a ± b)2 – b2 = a2 ± 2ab (o chvíľu si to ukážeme na konkrétnom príklade)
  • alebo rýchlejšiu formu – zapamätať si že x-ová súradnica vrchola je -b/2a a y-ovú súradnicu dopočítame dosadením do predpisu funkcie
    • V[-b/(2a); f(-b/(2a))]

A ako určíme priesečník s y-ovou osou?

Ak máme predpis kvadratickej funkcie upravený na tvar: y = ax2 + bx + c, tak priesečník s osou y Py = [0; c].

Ak si to nezapamätáte, tak používajte už naučené: Py=[0;y] a y-ovú súradnicu priesečníka určíme dosadením čísla 0 za x do predpisu kvadratickej funkcie.

Skúste prejsť na Kreslič kvadratickej funkcie a nakresliť grafy funkcií f: y = x2 – 4x + 5 a g: y = -x2 – 4x + 5.

Zmenil sa graf funkcie? Ako? Skúste porovnať predpisy oboch funkcií, čím sa líšia?

Čo potrebujeme vedieť pri náčrte kvadratickej funkcie?

Ak potrebujeme iba jednoduchý náčrt kvadratickej funkcie, tak potrebujeme poznať:

  • tvar paraboly
  • vrchol paraboly
  • priesečník Py so súradnicovou osou y

Zdá sa vám, že sme ešte nespomínali tvar paroboly?

Predpokladám, že ste boli všetci šikovní a pri vykreslení oboch parabol v Kresliči kvadratickej funkcie ste zistili, že pre a>0 je tvar a pre a<0 máme tvar .

A teraz ukážkový príklad.


Príklad 1:

Načrtnite graf funkcie f: y = x2 – 2x + 3.

Riešenie:

Povedali sme si, že potrebujeme vedieť tvar, súradnice vrchola a priesečník s osou y.

Vypíšme si všetky koeficienty:

a = 1; b = -2; c = 3

Keďže koeficient a = 1, tak tvar už máme …

V = [-b/(2a); f(-b/(2a))] … -b/(2a) = -(-2)/(2·1) = 1

-b/(2a) = -(-2)/(2·1) = 1 f(-b/(2a)) = 12 – 2·1 + 3 = 2

Teda V = [1; 2]

Py = [0; c] = [0; 3]

… a načrtneme graf

Graf kvadratickej funkcie y = x2 - 2x + 3


A ako by sme určili súradnice vrchola „úpravou na štvorec“?

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 /-b2
a2 – 2ab = (a – b)2 – b2

Z predpisu y = x2 – 2x + 3 teda podľa vyššie uvedeného pozmeného vzťahu upravíme časť x2 – 2x.

y = x2 – 2x + 3 = (x – 1)2 – 1 + 3 = (x – 1)2 + 2

x-ová súradnica vrchola je taká hodnota premennej x, kde x – 1 = 0 teda xV = 1
y-ová súradnica vrchola je číslo za zátvorkou teda yV = 2

Takže V = [1; 2].


O vlastnostiach kvadratickej funkcie (monotónnosť, ohraničenosť, parita, extrémy, …) si povieme nabudúce.

Rudolf Zrebný

Som obyčajný človek, ktorý má rád matematiku. Aj to je dôvod, prečo som sa stal učiteľom matematiky a vo voľných chvíľach pracujem na webe pohodovamatematika.sk. Časť voľného času venujem tvorbe webových stránok a bicyklovaniu v prírode. Inak sa snažím väčšinu dňa prežiť s mojou krásnou rodinkou.