Graf funkcie, funkcia daná analyticky, graficky, vymenovaním usporiadaných dvojíc

Graf funkcie:

V rovine si zvolíme pravouhlú sústavu súradníc so začiatkom O a osami x, y. Pre všetky x∈D(f) priradíme každej usporiadanej dvojici (x, f(x)) bod v rovine so súradnicami x, y=f(x).

Napríklad funkcia f je daná ako množina usporiadaných dvojíc

{(-6,5; 2), (-2; -1,5), (-1; 2,5), (3,5; -2), (4; 3)}.

Graf tejto funkcie bude vyzerať nasledovne:

Funkcia

Bližšie ku grafom jednotlivých funkcií sa dozviete v rámci tém venovaných konkrétnym funkciám.

Funkcia môže byť daná

a) analyticky – vzorcom, t.j. rovnicou v tvare y = f(x), kde f(x) je výraz s premennou x, napr. y = 2x – 7 alebo y = x + x – 3

b) graficky – grafom funkcie

c) vymenovaním usporiadaných dvojíc – spravidla vo forme tabuľky. Tento spôsob je použiteľný jedine pre funkcie, ktorých definičným oborom je konečná množina.

Príklad 1:

Je daná množina usporiadaných dvojíc reálnych čísel funkciou?

a) A = {[1; 5], [3; 4],[5; 6],[-3; 7],[-1; 5],[3; 8]}
b) B = {[-3; 7], [3; 8],[-2; 9],[-3; 5],[-4; 2],[2; 7]}
c) C = {[1; 3], [2; 3],[3; 3],[4; 3],[5; 3],[6; 3]}
d) D = {[3; 1], [3; 2],[3; 3],[3; 4]}
e) E = {x∈RxR; y = x + 1}
f) F = {x∈RxR; y2 = 3x + 1}


Vedeli by sme zistiť aj to, či graf na obrázku je grafom funkcie?

Niektorí áno, niektorí nie. Ja vám poradím malú fintu.

Skúste v myšlienkach posúvať y-ovú os po obrázku a v prípade, že vždy pretne graf v danom okamihu len na jednom mieste, tak je grafom funkcie. V opačnom prípade nie je grafom funkcie.

Pozorne sledujte nasledovnú ukážku (kliknutím na Zisťuj):

Všimnite si, že v okamihu, keď os y pretína graf na dvoch a viacerých miestach súčasne, vykresľuje sa červenou farbou na osi x interval, ktorý reprezentuje všetky hodnoty premennej x, ktorým je priradená viac ako jedna hodnota premennej y, čiže daný graf nie je grafom funkcie.


Príklad 2:

Sú nasledovné obrázky grafmi funkcií premennej x?

a) Graf   b) Graf
c) Graf   d) Graf

a) b)
c) d)


Príklad 3:

Určte definičné obory a obory funkčných hodnôt daných funkcií:

a) f1: A = {[1; 6], [3; 4],[5; 6],[7; 4],[9; 6],[11; 4]}
b) f2: B = {[1; 6], [3; 8],[5; 10],[7; 12],[9; 14],[11; 16]}
c) f3: C = {[x,y]∈RxR; y = 2x + 1}
d) f4: D = {[x,y]∈RxR; y = |2x + 1|}

Riešenie:

a) D(f1)={1;3;5;7;9;11}; H(f1)={4;6}
b) D(f2)={1;3;5;7;9;11}; H(f2)={6;8;10;12;14;16}
c) D(f3)=R; H(f3)=R
d) D(f4)=R; H(f4)=<0; ∞)


Možno sa teraz pýtate: „A čo v prípade, ak je funkcia daná analyticky? Je to tiež tak jednoduché?“

Pre vás je dôležité uvedomiť si, že zatiaľ si budete na funkcii danej analyticky všímať hlavne dve veci:

Ak je v predpise menovateľ, v ktorom sa nachádza premenná, tak

MENOVATEĽ SA NESMIE ROVNAŤ NULE

a v prípade, ak sa v predpise funkcie nachádza odmocnina s párnym odmocniteľom, tak

POD ODMOCNINOU S PÁRNYM ODMOCNITEĽOM NESMIE BYŤ ZÁPORNÉ ČÍSLO.


Príklad 4:

Určte definičné obory a obory funkčných hodnôt daných funkcií:

a) f1: -3/(x-5)
b) f2: 2/(x-3)-1/x
c) f3: odmocnina z (x-1)
d) f4: 6-ta odmocnina z x - 2x
e) f5: 1/odmocnina z (x+3)

Riešenie:

a) D(f1) = R - {5}, vychádza z podmienky (x-5)≠0
b) D(f2) = R - {0;3}, vychádza z podmienky (x-3)≠0 ∧ x≠0
c) D(f3) = <1;∞), vychádza z podmienky (x-1)≥0
d) D(f4) = <0;∞), vychádza z podmienky x≥0
e) D(f5) = (-3;∞), vychádza z podmienky (x+3)≥0 ∧ odmocnina z (x+3) ≠ 0


Rovnosť funkcií

O dvoch funkciách f a g hovoríme, že sú si rovné práve vtedy, ak D(f) = D(g) a v každom bode x tohto definičného oboru je f(x) = g(x). Zapisujeme f = g.

V prípade rôznych funkcií píšeme f ≠ g.

Napríklad funkcie g: x/(x-2) a h: (x^2+2x)/(x^2-4) sú rôzne, lebo D(g)≠D(h) (D(g)=R-{2}; D(h)=R-{-2;2}), pre x≠-2 platí g(x)=h(x).

Funkcie f: y=x2 a g: y=|x|2 sú rovné, lebo D(f)=D(g)=R a pre každé x∈R platí: f(x)=)g(x).


Rudolf Zrebný

Som obyčajný človek, ktorý má rád matematiku. Aj to je dôvod, prečo som sa stal učiteľom matematiky a vo voľných chvíľach pracujem na webe pohodovamatematika.sk. Časť voľného času venujem tvorbe webových stránok a bicyklovaniu v prírode. Inak sa snažím väčšinu dňa prežiť s mojou krásnou rodinkou.