Ako sa vyvíjala matematika – 2. etapa

2. etapa: epocha elementárnej matematiky

Epocha elementárnej matematiky, t.j. matematiky stálych veličín , trvá vyše 2 000 rokov – od vzniku matematiky až do začiatkov 17. storočia, keď vzniká „vyššia matematika“.

Túto etapu možno rozdeliť na dve obdobia, ktoré sa líšia hlavným obsahom a zameraním. Prvé obdobie sa vyznačuje hlavne rozvojom geometrie a trvá od vzniku matematickej teórie asi do 2. storočia n.l. Druhé obdobie je obdobím rozvoja algebry a trvá do 17. storočia n.l. Začiatok skúmanej etapy rozvoja matematiky ( grécka, helénska a rímska matematika) spadá do otrokárskeho zriadenia. Druhé obdobie v podstate do feudalizmu ( Čína, India, Stredná Ázia, Blízky Východ a západná Európa).

Matematika v antickom Grécku

V 7.storočí pred n.l., keď možno zreteľne badať prenikanie plodov egyptskej, fenickej a ostatných kultúr do antického Grécka, vznikajú tu veľmi priaznivé podmienky pre ďalší rozvoj. Uplatňuje sa tu umenie diskutovať, argumentovať a rozlišovať úsudky. Vzniká matematická teória (najmä jej geometrická časť), ktorá zaznamenáva prudký rozvoj a rozkvet práve tak ako filozofia a umenie.

Gréci bohatnú a geometria sa stáva hračkou, koníčkom vzdelancov, ktorí stratili záujem o problémy nižších vrstiev, o problémy remeselníkov a námorníkov. Ťažisko rozvoja geometrie a matematiky vôbec sa presúva z gréckej pevniny do Alexandrie, najväčšieho strediska lodného a mechanického umenia antického sveta. Alexandria absorbovala do seba všetku učenosť starého sveta, umenie lekárske, farbiarske, strojárske a moreplavecké. Zvláštny význam malo založenie prvého múzea, knižnice a univerzity v dejinách ľudstva. Za 300 rokov je Alexandria dejiskom najväčšieho rozkvetu vzdelanosti starého sveta – zatiaľ čo prvé centrum, materské Grécko, v matematike už prešľapuje na mieste a len málo pokročilo od tej doby.

Po búrlivom rozkvete sa grécka matematika stále viac odtrháva od praxe a postupne upadá. Niekoľko storočí predtým, než sa tento úpadok stal zjavným, vzniká nové centrum štátnej, vojenskej a hospodárskej moci. Grécke spoločenstvo sa dostáva do područia Ríma. Rím ani v období najväčšieho rozkvetu nedáva matematike vôbec nič. Dokonca aj Rímom porazené Grécko ide vo vedách a v umení ešte stále o niečo vpred a v tomto smere trvale prevyšuje víťazný Rím.

Alexandrijské obdobie gréckej matematiky sa začína vlastne kulmináciou gréckej matematiky. Ďalšie objavy a náznaky nepadajú však do úrodnej pôdy.

Za spomenutých priaznivých spoločenských podmienok dochádza v období všeobecného rozkvetu kultúry antického Grécka k systemizovaniu a zovšeobecneniu veľkého množstva nazhromaždených poznatkov antického sveta, dochádza k vzniku elementárnej geometrie. Systém geometrie , vypracovaný v antickom Grécku, sa stáva vzorom deduktívnych systémov a vzorom výstavby matematickej teórie pre ďalších 2 000 rokov. (V 17. storočí n.l. začína Descartes v podstate tam, kde pred 2 000 rokmi skončil Euklides.) Jeho vypracovanie je spojené s menami veľkých učencov starého Grécka, ako bol Tales z Milétu ( zakladateľ tzv. iónskej školy ), Demokritos z Abdery, Pytagoras zo Samasu. Už v prvom období rozvoja dosahuje grécka geometria významné výsledky. Je zaujímavé sledovať, ako sami grécki učenci hodnotia príspevok Grékov k rozvoju geometrie. Historik Herodot ( asi roku 460 pred n.l. ) vidí zrod geometrie v Egypte. Je známe, že Tales, Pytagoras, Demokritos, Eudoxos a Platón cestovali do Egypta, aby sa naučili meračskému umeniu. Výsledky, ktoré dosiahli , porovnávajú zo začiatku s vedomosťami egyptských meračov.

Demokritos napríklad hovorí: Zo všetkých mojich súčasníkov som práve ja prešiel najväčšiu časť zeme, navštívil najvzdialenejšie kraje, skúmal najrozdielnejšie podnebie a počul najviac ľudí. Niet človeka, ktorý by ma v meračských nárysoch a dôkazoch prekonal, nevnímajúc z toho ani egyptských meračov, medzi ktorými som strávil plných päť rokov života. Demokritos je charakteristický výrazným materialistickým chápaním vzniku a hybných síl vedy (a v nej geometrie). Zatiaľ čo on vidí zdroj poznania v praxi a považuje za správne a prirodzené rozdávať vedomosti, zakrátko badať aj prejavy opačných tendencií. (Z Demokritových 80 prác, ktoré boli zväčša v Alexandrijskej knižnici zničené, zostali iba fragmenty. Známe sú však tituly jeho prác. )

Pytagoras zo začiatku učí pomerne široké poslucháčstvo, ale neskôr sa stáva jeho škola uzavretým centrom. Jeho žiaci sa prísahou zaväzujú neprezradiť „tajomstvá“, ktoré im zveril.

Hyppasos z Metapontu (člen pytagorejského bratstva – v polovici 5. storočia pred n.l.), ktorý prišiel na konštrukciu pravidelného päťuholníka a objavil pravidelný päťuholníkový dvanásťsten, bol vraj usmrtený, pretože vyzradil tajomstvá.

Vrcholným dielom sú Euklidove Elementy (3. storočie pred n.l.), ktoré vďaka alexandrijskej škole a jej vplyvu na ďalší rozvoj matematiky zostali zachované (cez arabskú matematiku). Je nesporné, že pred Euklidom vzniklo už veľa vážnych geometrických prác, ale tieto sa nezachovali práve preto, že ich vytláčalo Euklidovo geniálne dielo. Zhŕňajúce a vyčerpávajúce všetko to, čo sa za niekoľko storočí v geometrii odkrylo (Známe je napríklad dielo Hippokrata z Chiosu, ktorý žil 440 pred n.l.). Euklides sa opiera o Taletove, Pytagorove, Hippokratove a Eudoxove objavy. Jeho Elementy (Základy) tvoria dodnes hlavný obsah vyučovania geometrie na strednej škole.

Astronomické merania a výpočty dali podnet k vzniku trigonometrie. Eratostenes (275-194 pred n.l.) meria obvod Zeme. Po ňom zlepšuje odhad Poseidonios (100 r. pred n.l.) a zlepšuje ho na presnosť, ktorá je na tú dobu obdivuhodná. V Alexandrii prevláda názor, že Zem je guľatá. Je zaujímavé, že Bion (Demokritov žiak) rozprával svojim žiakom o miestach na Zemi, kde Slnko o polnoci nezapadá (polárny kruh). Aristarchoss odhaduje priemer Mesiaca na 1/3 priemeru Zeme (8 %-ná chyba), Hipparchos odhaduje vzdialenosť Mesiac –Zem na cca 400 00 km (8 %-ná chyba).

Kleomenes odhaduje vzdialenosť Zem –Slnko na 13 000 polomerov Zeme (neskôr 17 400 polomerov.). Hipparchos (okolo roku 150 pred n.l.) zostavuje zoznam 1 080 stálic, ktorý veľmi dlho slúžil praktickým účelom (používal sa aj na maurských univerzitách v Kordóbe, Seville, v Tolede). Archimedes zo Syrakúz (287-212 pred n.l.) zostrojuje model, ktorý znázorňuje otáčanie oblohy a zmeny v postavení hviezd.

Okrem praktickej astronómie a geodézie boli spoločenským podnetom pre rozvoj geometrie a potreby mechaniky. Napríklad Archimedes píše Eratostenovi, že mechanika mu umožnila nájsť mnohé z matematických poznatkov. Apolónios z Pergy (200 pred n.l.) rozvíja teóriu kužeľosečiek až k „hraniciam“ Descartovskej geometrie. Poslední z veľkých matematikov Diofantos a Teon používali geometrické nákresy, aby podľa nich (ako návody) vykonali rôzne výpočty.

Taktiež pre rozvoj aritmetiky a pre začiatky algebry znamená toto obdobie veľký prínos. Položili základy teórie čísel. Niektorí matematici (Diofantos 240 –330 n.l.) sa zaoberajú riešením rovníc celými číslami. Poznali už riešenie rovníc druhého a tretieho stupňa, vlastnosti aritmetických a geometrických radov atď., teda mnoho z toho, čo predstavuje základy elementárnej algebry.

Diofantos z Alexandrie pri formulácii používa skrátené prehľadnejšie vyjadrovanie a prvý vytvára algebraický jazyk. Pojem neznámeho čísla (neznámej)vystupuje u neho veľmi jasne. Nazýva ho aritmos (skratka ar), jeho druhú mocninu dymnamis, tretiu mocninu kubos. Známe čísla rozlišuje od násobkov neznámeho čísla slovom monas (= 1; skratka mo . Pre odčítanie používa symbol (sčítanie osobitne nenaznačuje, sčítancov zapisuje vedľa seba). Naše rovná sa („=“) nahradzuje is .

Tak rovnica 7x + 5 = 3x + 25 by pri jeho spôsobe zápisu vyzerala takto:

7ar 5mo is 3ar 25mo

a riešenie, (x = 5): ar is 5mo.

Chýbalo však to hlavné: záporné čísla, nula iracionálne čísla zbavené geometrie a rozvoj systému označení pre všeobecné čísla.

Zaujímavý je vývoj jednej z najstarších matematických teórií: teórie (prirodzených) čísel, ktorá má veľa zvláštností. Dodnes budí záujem nematematikov a v rôznych obmenách sa objavujú jej úlohy ako hádanky pre vynaliezavých riešiteľov. Napríklad problém rozmiestnenia prvočísiel je približne taký starý ako teória čísel (o tom svedčí aj Eratostenova sieť). Iným veľmi starým problémom je problém tzv. dokonalých čísel. (prvé dve boli známe už dávno v staroveku). Predmetom záujmu boli aj tzv. zviazané čísla. Uviedli sme niekoľko málo príkladov, na potvrdenie toho, že veľa problémov z teórie čísel, ktoré nadhodili matematici gréckeho obdobia, dodnes odoláva pokusom o riešenie. Teória čísel so svojimi nevyriešenými problémami zohrala dôležitú úlohu v rozvoji ostatných častí matematiky. Metódy riešenia jej problémov znamenali poväčšine významné obohatenie prostriedkov pre riešenie tých problémov, ktoré sú bezprostredne spojené so spoločenskou praxou.

Matematika Východu- matematika v Indii

Prejdime k výsledkom druhého obdobia tejto etapy rozvoja matematiky. Popri skvelých výsledkoch v geometrii a sľubných začiatkoch v teórii celých čísel zanechalo antické Grécko veľa nevyriešených problémov. Veličina a číslo boli pre Grékov dva úplne rozdielne pojmy. Prevaha geometrie a podriadenosť ostatnej matematiky zakrývali rozpory a brzdili rozvoj ostatnej matematiky. Indovia začali práve tam, kde boli nedostatky gréckej matematiky najciteľnejšie. Zatiaľ čo Gréci nevedeli počítať so zlomkami, Ind Brahmagupta (6 stor. n.l.) píše už o pravidlách pri násobení zlomkov. Gréci nepoznali nulu, ale u Indov sa nula („suna“) objavuje už asi okolo roku 5000 n.l. Indovia spájajú predstavu čísla s predstavou číselnej osi. Kde istý bod je nula, body napravo sú kladné čísla, body naľavo sú čísla záporné. Postupovať smerom vpravo znamená čísla pripočítavať, postupovať vľavo znamená odčítať. Indický prínos neprelamuje len Grékmi neprekonanú hranicu medzi kladnými a zápornými číslami alebo medzi číslami celými a racionálnymi (racionálne číslo je číslo, ktoré možno vyjadriť ako zlomok a v čitateli má číslo celé, v menovateli prirodzené), ale aj hranicu medzi číslami racionálnymi a iracionálnymi (číslo, ktoré nie je racionálne, sa nazýva iracionálne – tieto názvy boli prijaté neskôr).Tak vzniká možnosť chápať veličinu ako reálne číslo(číslo racionálne aj iracionálne je skutočné – reálne číslo).

Ako vieme, Gréci značne rozvinuli geometriu, nedošli však k iracionálnym číslam. Tieto čísla zostali pre nich záhadou a zabraňovali spojeniu geometrie s aritmetikou. . K prekonaniu rozporov, na ktoré narazili Gréci a k spojeniu geometrie s aritmetikou došlo až u matematikov Východu. Konkrétnym výsledkom procesu prekonávania uvedených rozporov bol pojem reálneho čísla.

Matematici Východu boli tiež prví, ktorí prišli so základnými úkonmi s reálnymi číslami. Či však už ide o sčítanie, odčítanie, násobenie alebo delenie abstraktných reálnych čísel a či o vzťahy medzi nimi, ktoré vyjadrujeme slovami „väčší“, „menší“, „rovná sa“, odrážajú vzťahy skutočnosti (napríklad sčítanie = skladanie úsečiek). Teda tieto úkony a vzťahy nie sú „vyšpekulované“, ale sú to úkony a vzťahy, ktoré sa v praktickom živote vyskytujú v konkrétnej forme.

Rozšírenie systému čísel na systém reálnych čísel, ktoré umožnil aj objav nového indického „číselného slovníka“, bol skutočne revolučným krokom aj pre praktické výpočty, aj pre samotnú teóriu.

Zaujímavý je osud záporných čísel, ktoré Indovia definitívne prijali do rodiny čísel (Brahmagupta označuje záporné číslo bodkou nad číslom). Je známe, že Diofantos z Alexandrie už rozoznáva pridávané a uberané čísla. Starí Číňania počítali tiež so zápornými číslami. Indická predstava záporných čísel, spojená s číselnou osou, na ktorej má čestné miesto nula, upadla takmer do zabudnutia. Ťažko a dlho sa domáhala domovského práva u európskych matematikov. Mnohí záporné čísla nazývali: „čísla absurdné, fiktívne, falošné…“.

Indickí matematici boli pokračovateľmi riešenia rovníc prvého a druhého stupňa, ktorými sa zaoberali grécky matematici (napr. Diofantos z Alexandrie). Medzi najznámejších patria Aryabhatta (druhá polovica 5. sto. n.l.), už spomenutý Brahmagupta (okolo 6.str.n.l.), Mahavira (okolo roku 850, prišiel na pravidlo o delení zlomkov, ktoré používajú naši žiaci dodnes) a Bhaskara (1114 – 1185), účastník najväčšieho rozkvetu matematiky v Indii. K jeho dielu Lilavati (Čarovná), ktoré obsahuje mnoho úloha ich riešení, pridali indickí nasledovníci už len málo. Indovia vytvorili veľmi bohatý algebrický slovník. (zaujímavý je pokus Indov označovať neznáme čísla rôznymi farbami.) S obľubou používajú poetickú formu, ktorá nám neraz sťažuje pochopenie úlohy.

Matematika v Islamských krajinách

V 9. až 15. storočí je centrom matematiky Stredná Ázia. Spoločenské a kultúrne predpoklady: rozkvitanie obchodu v prístavoch, rozvoj remesiel, stretnutie sa s kultúrami národov, ktoré si podrobili – Egypt, Mezopotámiu, Perziu,…Arabi založili vedeckú akadémiu – Dom múdrosti v Bagdade – kalif al-Mamún (813-833). Čerpali zo základných diel gréckej a indickej matematiky.

V rukách Arabov, aj arabsky hovoriacich a píšucich učencov Stredného Východu, sa spájajú vrcholné výsledky gréckej matematiky indickými poznatkami. Tu sa úspešne formuje elementárna algebra a trigonometria. (Algebra je v podstate náuka o aritmetických úkonoch všeobecne chápaných v abstrakcii od konkrétnych čísel. Omar Chajjám, arabský matematik, ktorý žil v rokoch 1048-1122, definuje algebru ako náuku o riešení rovníc. Táto definícia sa zachovala až do konca 19. storočia.). Treba pripomenúť, že matematici tohto (východného) obdobia sú zväčša súčasne hvezdármi. Dochádza k spojeniu matematiky s astronómiou. Zásadný rozdiel v porovnaní s hvezdármi – počtármi starého Egypta spočíva v tom, že arabskí hvezdári a ich žiaci boli úzko spojený s praxou, a to s moreplavectvom. Ich tabuľky slúžili ešte dlhé roky aj posádkam európskych lodí, ktoré plávali po ďalekých moriach. Je známe, že európske lode brávali na svoje plavby odchovancov maurských univerzít. Používajú tabuľky pre trigonometrické funkcie. Tu vznikajú diela Alhavarizmiho (Al-Chorezmiho), Al-Birúniho (973-1048, katalóg hviezd – encyklopedista), Ulun Bega, Omara Chajjáma, Nasiredina Tusi a Džemišida. Arabskí matematici boli učiteľmi Európy. Al-Chorezmí (780 – 850) „otec“ arabskej matematiky, poznal matematické diela Brahmaguptu, babylonskú matematiku i gréckych autorov. Napísal knihy o riešení kvadratických rovníc, o indickom počítaní (10-ková sústava). Od jeho mena je odvodené slovo algoritmus (algorizmi). Aj názov algebra vznikol skomolením a skrátením názvu Al-Chorezmiho diela (jeho plné meno je Abú Džafar Mohamed ibn Músá al Chorezmi) Al gabr v’almukabalah (doplňovanie a vyrovnávanie). Pri prepise do latinčiny dostáva jeho dielo názov Algebra et almucabala a skrátene Algebra, čo sa dnes pre istú oblasť matematiky zachovalo dodnes. Skratky a pôvodne dobre vyvinutý algebrický slovník Indov arabskí matematici nepreberajú, aj keď práve u nich dochádzka k zlúčeniu a obohateniu podstatných indických a alexandrijských výsledkov. Od Arabov sa dodnes zachoval napríklad symbol pre odmocninu „?“. Už spomenutý Omar Chajjám ospevuje v jednej zo svojich básní význam Indmi objavenej prázdnoty (= nuly) pre rozvoj matematiky týmto dvojverším:

„Hviezdy zapadajú a karavána

vychádza do úsvitu prázdnoty a ako má naponáhlo…

Slovnú formuláciu (až poetickú) úloh a ich riešení, ktorú používali arabskí matematici, sa pokúša skratkami a symbolmi zjednodušiť menej vyspelá, z tisícročného spánku prebúdzajúca sa Európa.

Kresťanská Európa, ktorá sa izolovala od pohanského sveta a jeho kultúry, poznáva dosť neskoro ako zaostala. Križiacke výpravy a obchod z Arabmi dávajú možnosť Európanom nazrieť do arabskej kultúry. Materiálny základ pre preberanie „zakázaných“ plodov arabskej matematiky dáva vznik nezávislej osvety obchodníckych vrstiev v prístavných mestách Talianska a neskôr v ostatných krajinách Európy. V obchodných a finančných kruhoch sa pri výpočtoch používajú indické číslice v západoarabskom podaní. Prvá minca v kresťanskom svete, ktorá používa tieto číslice, je sicílska minca z roku 1134. Neskôr nechýbali ani pokusy „vyzvedať“ na maurských univerzitách. Adelard z Barhu sa vydáva za mohamedána a študuje v Kordóbe (okolo 1120). Neskôr prekladá Euklidove a Alchorezmiho diela do latinčiny, prináša aj arabské hvezdárske tabuľky. Asi v tom čase študoval Gerard z Cremony v Tolede. Preložil približne 90 arabských textov. Kňaz Paciulo prekladá Bhaskarovu aritmetiku a uvádza aj Teónovu metódu výpočtu druhej odmocniny.

Medzitým sa už stáva rozumným zvykom povolávať odchovancov maurských univerzít ( a arabských univerzít vôbec) za učiteľov matematiky do európskych cirkevných školských centier a za hvezdárov – výpočtárov pri väčších plavbách. Takmer 4 storočia trvá tento proces preberania vedomostí. Európa prijíma, pohlcuje a len málo pridáva k tmu, čo dostala od svojich arabských učiteľov. Iba v 16.storočí nakoniec európska veda po prvý krát predbieha svojich učiteľov.

Matematika v Európe

V Taliansku , ale aj v iných európskych krajinách, objavujú sa praktické úlohy algebrickej povahy. Tovarová výroba , peňažníctvo a obchod sa vymaňujú kde –tu zo zastaralých obmedzení. Leonard Pisi ( Fibonacci – syn Bonacciho) píše Liber abaci, ktorá učí počítať, ale aj riešiť algebrické úlohy. Rozvíja sa jednoduchá algebrická reč so skratkami a symbolmi. Objavuje sa plus ( z latinského surplus) skracované na p, mínus skracované na m, ktoré v obchodníckej praxi nahradili neskoršie symboly „ +“ a „-„. V teórii sa iba nesmelo objavujú „ zabudnuté“ záporné čísla, ale o to častejšie sa objavujú v praxi (úbytok, strata, pasívum – vyžaduje si to aj rozvoj teórie rovníc). Reálne čísla sa trvale udomácňujú. Stifel píše o pravidlách riešenia kvadratických rovníc. Reč a algebrický zápis sa zjednodušujú, stávajú sa prístupnejším širokým vrstvám. Veľa hovoria je skutočnosť, že jedno z prvých diel tlačiarenského lisu – Widmanova kupecká počtovnica, ktorá vyšla v Lipsku v roku 1489 – už zavádza symboly „ +“ a „-„.O sto rokov neskôr zaviedla anglická kupecká počtovnica symboly „X“ (krát) a „=“ (rovná sa). Len pre zaujímavosť uveďme príklad vývoja zápisu rovnice druhého stupňa (publikovaný v Hogbenovi), ktorú si dnes žiak zapíše takto:

3×2 –7x+2=0.

Regiomontanus (1464):

3 Census et 2 demptis 7 rebus aequator zero

Pacioli (1494):

3 Census p 2 de 7 rebus ae 0

Vi?te (1591):

3 in A quad – 7 in A plano + 2 aequatur 0

Stevinus ( 1585):

3 2 7 1 + 2 • = 0

Descartes (1637):

3×2 –7x+2=0

Dôležitý je príspevok Vieta (Francois Viete, 1540-1603), ktorý zaviedol označenie neznámych veličín samohláskami a všeobecne známe veličiny označuje spoluhláskami. Ďalej vytvoril algebrický slovník, ktorý v tých časoch vyhovoval. Tento proces vypracovania algebrického slovníka a symboliky dovršuje až Descartes vo svojej Geometrii). Algebrický slovník a symbolika zohráva podobnú úlohu ako kedysi číselný slovník a číselná symbolika.

V poslednom období skúmanej druhej etapy sa završuje rozvoj elementárnej algebry, pokiaľ ide o riešenie rovníc o jednej neznámej. Dávno bolo známe algebrické riešenie rovníc prvého a druhého stupňa ( geometrické riešenie už v antickom Grécku).V Cardanovej Ars Magna (Veľké umenie) z roku 1545 je po prvý raz uverejnené algebrické riešenie rovníc tretieho a štvrtého stupňa. Na riešenie rovnice tretieho stupňa prišiel ako prvý istý Scipione del Ferro a štvrtého Cardanov žiak Ferrari.

Ďalších 300 rokov, (ktoré spadajú väčšinou do ďalšej etapy) sa usilovne robili pokusy riešiť algebricky rovnice vyššieho ako štvrtého stupňa. Ukázalo sa, že druhá etapa vyčerpala už všetky možnosti elementárnej algebry práve tak, ako by v jej prvom období boli grécki matematici vyčerpali všetky možnosti elementárnej geometrie. Nové úlohy hlučne klopali na dvere a možnosti starých koncepcií boli už vyčerpané. Podobne ako v spoločenskom živote, atak aj v myslení sa museli prelomiť hranice navyknutého spôsobu života, aby mohol nastúpiť ďalší, veľmi prudký rozvoj. Tak to bolo aj v matematike. Rozvinutá elementárna geometria a trigonometria, aritmetika a elementárna algebra, ktorá predstavovala výsledky vývoja po celé dve dlhé etapy, postavila nové úlohy, ktoré sa dovtedajšími metódami nedali riešiť. Muselo prísť niečo nové vnúti samej matematiky, niečo, čo prerástlo svojich „rodičov“. Vznik a rozvoj „nového“ predpokladá spravidla nové podmienky. Tieto vytvoril prudký rozvoj výrobných síl , ktoré prelamovali hrádze spoločenského života a myslenia. Tým je charakteristický prechod matematiky do ďalšej etapy.

Zdroj: A. Kotzig, Matematika a spoločnosť