Pridaj na: Facebook | Twitter | Pošli na vybrali.sme.sk Vybrali.sme

Riešenie kvadratickej rovnice

V predchádzajúcich článkoch sme si ukázali spôsob riešenia kvadratických rovníc, kde chýbal lineárny alebo absolútny člen, prípadne riešenie kvadratickej rovnice v normovanom tvare s využitím Vietovych vzorcov.

Čo ale v prípade, ak nemôžeme využiť ani jeden z predchádzajúcich spôsobov?

V takom prípade o riešiteľnosti danej kvadratickej rovnice ax² + bx + c = 0 - či daná rovnica má alebo nemá riešenie, resp. aké sú hodnoty koreňov danej kvadratickej rovnice rozhoduje výraz

D = b² - 4ac,

ktorý nazývame diskriminant.

Platí:

ak D > 0, tak daná kvadratická rovnica má 2 rôzne reálne korene
ak D = 0, tak daná kvadratická rovnica má dva rovnaké reálne korene, čiže tzv. dvojnásobný reálny koreň
ak D < 0, tak daná kvadratická rovnica nemá riešenie v obore reálnych čísel (samozrejme v obore komplexnýxh čísel má dva imaginárne komplexne združené korene)

Z predchádzajúceho je zrejmé, že v prípade D≥0 má zmysel pokračovať v riešení kvadratickej rovnice.

Ako určíme korene x₁, x₂?

x_{1, 2} =	-b ± D	resp. x_{1, 2} =	-b ± b² - 4ac
	2a		2a

Príklad 1:

Riešte v množine R rovnicu: 5x² - 2x - 3 = 0.

Riešenie:

D = b² - 4ac = (-2)² - 4·5·(-3) = 4 + 60 = 64

D > 0 ⇒ daná rovnica má dva rôzne reálne korene, ktoré vypočítame.

x_{1, 2} =	-b ± D	=	-(-2) ± 64	=	2 ± 8
	2a		2·5		2·5

Teda x₁ =	2 + 8	= 1	a	x₂ =	2 - 8	=	-6	=	-3
	2·5				2·5		10		5

P = {-3/5, 1}

Príklad 2:

Riešte v množine R rovnicu: 25x² - 10x + 1 = 0.

Riešenie:

D = b² - 4ac = (-10)² - 4·25·1 = 100 - 100 = 0

D = 0 ⇒ daná rovnica má dvojnásobný reálny koreň, ktorý vypočítame.

x_{1, 2} =	-b ± D	=	-(-10) ± 0	=	10	=	1
	2a		2·25		50		5

P = {1/5}

Všimnite si:

Keď D=0, riešením je dvojnásobný koreň a v takom prípade (tí, ktorí ovládajú vzťah a²+2ab+b²=(a+b)²) nie je problém riešiť rovnicu úpravou podľa tohto vzťahu.

25x² - 10x + 1 = 0
(5x - 1)² = 0
5x - 1 = 0
5x = 1
x = 1/5

Príklad 3:

Riešte v množine R rovnicu: 2x² - 2x + 3 = 0.

Riešenie:

D = b² - 4ac = (-2)² - 4·2·3 = 4 - 24 = -20

D < 0 ⇒ daná rovnica nemá v obore reálnych čísel riešenie.

P = {}