Rozširovanie a krátenie zlomkov, úprava zlomkov na základný tvar.

Pri vysvetľovaní delenia dvoch prirodzených čísel sme sa dozvedeli, že výsledok – podiel sa nezmení, ak delenca i deliteľa vynásobíme tým istým číslom rôznym od nuly.

Teda 4:5 = 8:10 = 40:50 = …

Keďže zlomok je „len“ iný zápis delenia, tak to isté platí i pri zlomkoch. Hovoríme o tzv. rozširovaní zlomku.

Teda (7.2)/(5.2)=14/10, takže takýmto rozširovaním by sme získali „nekonečne veľa“ zlomkov s rovnakou hodnotou.

7/5=14/10=42/30=...

Príklad 1:

Rozšírte dané zlomky číslom uvedeným v zátvorke:

a) 3/7 … (3)

b) 5/2 … (7)

c) 8/9 … (5)

Riešenie:

a) (3.3)/(7.3)=9/21

b) (5.7)/(2.7)=35/14

c) (8.5)/(9.5)=40/45

Pýtate sa na použitie rozširovania zlomkov?

Rozširovanie zlomkov môžeme použiť napr. pre rýchlejšie určenie hodnoty zlomku (nemusíme krvopotne deliť čitateľa menovateľom, ale stačí vhodne zlomok rozšíriť).

Napr. 230/250 rozšírime číslom 4, dostaneme tak zlomok 950/1000 a dostaneme desatinný zlomok, ktorý vieme zapísať v tvare desatinného čísla 0,95 (bližšie pozrite Poznávame desatinné čísla).

Ďalším príkladom môže byť uľahčenie riešenia príkladov typu:

Koľko minút je 7/15 hodiny?

Vieme, že 1 hodina = 60 minút, čiže celok potrebujeme rozdeliť na 60 častí. Z toho vyplýva, že menovateľ potrebujeme rozšíriť na 60 a čitateľ bude predstavovať počet častí, ktoré sme zobrali, čiže počet minút.

(7.4)/(15.4)=28/60, čiže 7/15 hodiny je 28 minút. Samozrejme, keď vieme, čo robiť, ide nám to rýchlejšie.

Tak ako môžeme násobiť čitateľa i menovateľa zlomku tým istým číslom a hodnota sa nezmení, platí to i opačne. Hodnota zlomku sa nezmení, ak čitateľa i menovateľa vydelíme tým istým číslom rôznym od nuly.

Hovoríme o krátení zlomku.

Krátenie zlomkov má zmysel najmä v zjednodušení daného zlomku pri zachovaní jeho hodnoty. Význam krátenia zlomkov oceníme najmä pri úpravách výrazov, riešení rovníc a pod.

Pozrime sa napr. na zlomok 120/150. Jedným zo spoločných deliteľov čísel 120 a 150 (bližšie pozrite Znaky deliteľnosti a Určenie všetkých deliteľov prirodzeného čísla, najväčší spoločný deliteľ) je číslo 5. Vydeľme teda čitateľa i menovateľa číslom 5.

(120:5)/(150:5)=24/30

Získali sme zlomok 24/30. Tento zlomok by sme mohli samozrejme krátiť ďalej. Veď sa pozrite:

(24:2)/(30:2)=(12:3)/(15:3)=4/5

A čo so zlomkom 4/5? Je možné tento zlomok krátiť ďalej? Nie. Lebo čísla 4 a 5 sú nesúdeliteľné, čiže nemajú spoločného deliteľa. V takomto prípade hovoríme, že sme zlomok upravili na základný tvar.

Príklad 2:

Upravte dané zlomky na základný tvar:

40/50 =


14/63 =


60/75 =


230/250 =


Kontrola   Správne riešenie     

Rudolf Zrebný

Som obyčajný človek, ktorý má rád matematiku. Aj to je dôvod, prečo som sa stal učiteľom matematiky a vo voľných chvíľach pracujem na webe pohodovamatematika.sk. Časť voľného času venujem tvorbe webových stránok a bicyklovaniu v prírode. Inak sa snažím väčšinu dňa prežiť s mojou krásnou rodinkou.