Výroky a hypotézy, množiny a množinové operácie
Neriešené príklady:
Príklad 1:
Určte všetky podmnožiny A, B množiny Z = {0, 1, 2, 3}, pre ktoré platí:
{1,3}∩A = {}; {1,2} – B = {1}
Určte pravdivostnú hodnotu výrokovej formuly (A∨B)⇔[(A∧B)⇒(B∨C)]⇒(A∨C), keď výrok B je pravdivý a výroky B, C sú nepravdivé.
Príklad 3:
Je nasledovná výroková formula kontradikciou?
[A∧(B⇒C)‘]⇔[B’∧(A⇔C)]
Príklad 4:
Dané sú množiny:
A = {x ∈ Z; |x| > 2}; B = {x ∈ N; x < 5}; C = {x ∈ R; x2 = 25}
Určte: A ∩ B, C‘A, B ∪ C
Príklad 5:
Zostavte tabuľku pravdivostných hodnôt výrokov:
- (A⇔B)‘ ⇔ {[A∨(B’⇒C)]∧C}
- (B’⇒A‘)⇔(A⇒B)
- (A∨B)’⇔A’∧B‘
Príklad 6:
Vytvorte negácie nasledovných výrokov:
- Každý trojuholník má aspoň jednu vpísanú kružnicu.
- Ak je súčin dvoch činiteľov párny, tak sú oba činitele nepárne čísla.
- Existuje aspoň jedno prvočíslo, ktoré je párne číslo.
- Nikto učený z neba nespadol.
- Dve roviny môžu mať najviac jeden spoločný bod.
- Súčet dĺžok dvoch menších strán trojuholníka je väčší ako strana tretia.
Príklad 7:
Dokážte, že nasledovná výroková formula je tautológia:
[(A∧B)⇒C]⇔[C’⇒(A’∨B‘)]
Príklad 8:
Na križovatke sa v danom okamihu nachádzajú práve 3 autá. Situácia je charakterizovaná formulou:
[(A’∨B‘)⇒C]∧[(A∨C)⇒B‘]
Ktoré autá sú v pohybe (X – auto sa pohybuje, X‘ – auto stojí)?
Príklad 9:
Ktoré z daných výrokov sú pravdivé?
- ∃x∈N; x2≤x
- ∀x∈Z; x2>x
- ∃x∈R; x2<x
- ∀x∈(0,1); x2<x
- !∃x∈Z; x2<x
Príklad 10:
Žiaci prvého ročníka navštevujú 3 krúžky – počítačovy, matematický a turistický. Počítačový krúžok navštevuje 26 žiakov, matematický krúžok 31 žiakov, turistický krúžok 24 žiakov. 3 žiaci nemali záujem o žiadny z krúžkov, naproti tomu 8 sa prihlásili do všetkých troch krúžkov. Matematický a počítačový krúžok navštevuje 13 žiakov, na počítačový a turistický chodia 11 žiaci, na matematický alebo turistický 40 žiakov.
- Koľko žiakov navštevuje matematický aj turistický krúžok?
- Aký je počet žiakov prvého ročníka?
- Koľkí žiaci chodia iba na turistický krúžok?