Pridaj na:    Facebook    |    Pošli na twitterTwitter    |    Pošli na vybrali.sme.sk Vybrali.sme

Sústavy troch lineárnych rovníc s tromi neznámymi

Rovnicu tvaru ax + by + cz = d, kde a ≠ 0 alebo b ≠ 0 alebo c ≠ 0 nazývame lineárnou rovnicou s troma neznámymi x, y, z.

Trojicu čísel x0, y0, z0 nazývame riešením vyššie uvedenej rovnice, ak platí:

ax0 + by0 + cz0 = d

Rovnice tvaru

ax + by + cz = d, kde a ≠ 0 alebo b ≠ 0 alebo c ≠ 0
ex + fy + gz = h, kde e ≠ 0 alebo f ≠ 0 alebo g ≠ 0
ix + jy + kz = l, kde i ≠ 0 alebo j ≠ 0 alebo k ≠ 0

nazývame sústavou troch lineárnych rovníc s troma neznámymi x, y, z.

Trojicu čísel x0, y0, z0 nazývame riešením vyššie uvedenej sústavy rovníc, ak platí:

ax0 + by0 + cz0 = d, kde a ≠ 0 alebo b ≠ 0 alebo c ≠ 0
ex0 + fy0 + gz0 = h, kde a ≠ 0 alebo b ≠ 0 alebo c ≠ 0
ix0 + jy0 + kz0 = l, kde a ≠ 0 alebo b ≠ 0 alebo c ≠ 0

Pri riešení sústavy troch rovníc s troma neznámymi najčastejšie využívame:

  1. Gaussovu eliminačnú metódu;
  2. Cramerovo pravidlo;
  3. dosadzovacia metódu.

Gaussovu eliminačnú metóda:

Táto metóda spočíva v postupnej úprave sústavy rovníc na tzv. trojuholníkový tvar, kde v druhej rovnici je eliminovaná prvá neznáma a v tretej rovnici je eliminovaná prvá a druhá neznáma.

Samotný postup riešenia sústavy rovníc pomocou Gaussovej eliminačnej metódy si ukážeme na príklade.

Príklad 1:

Riešte danú sústavu rovníc s neznámymi x, y, z ∈ R:

2x - 3y + 2z = 2
-x - 4y - 3z = -18
3x + 5y - z = 10

Riešenie:

Kvôli jednoduchšiemu počítaniu sa snažíme mať ako prvú rovnicu tú z troch rovníc, ktorú dokážeme najjednoduchšie upraviť na tvar s koeficientom 1 pred prvou neznámou (prípadne pred inou neznámou a vtedy by sme museli vymeniť poradie neznámych).

V našom prípade si na prvé miesto presunieme 2. rovnicu vynásobenú číslom (-1).

x + 4y + 3z = 18
2x - 3y + 2z = 2
3x + 5y - z = 10

Prvú rovnicu odpíšeme.(-2)-násobok prvej rovnice pripočítame k druhej rovnici (tým eliminujeme neznámu x v druhej rovnici) a (-3)-násobok prvej rovnice pripočítame k tretej rovnici (tým eliminujeme neznámu x v tretej rovnici).

x + 4y + 3z = 18
- 11y - 4z = -34
- 7y - 10z = -44

Prvú rovnicu odpíšeme. Aby sme pred neznámou y dostali v druhej a tretej rovnici navzájom opačné čísla, tak druhú rovnicu násobíme číslom (-7) a tretiu rovnicu číslom 11.

x + 4y + 3z = 18
77y + 28z = 238
- 77y - 110z = -484

1. a 2. rovnicu odpíšeme a 2. rovnicu pripočítame k tretej.

x + 4y + 3z = 18
77y + 28z = 238
- 82z = -246/ :(-82) ⇒ z = 3 ... dosadím do druhej rovnice

77y + 28·3 = 238y = 2 ... za x, y v 1. rovnici dosadíme vypočítané hodnoty

x + 4·2 + 3·3 = 18x = 1

Skúšku správnosti vykonáme dosadením vypočítaných hodnôt do všetkých troch rovníc.

Riešením danej sústavy rovníc je usporiadaná trojica [x,y,z]=[1, 2, 3].

Príklad 2:

Riešte sústavu rovníc s neznámymi abc ∈ R Gaussovou eliminačnou metódou:

2a - 3b + c = 5
5a + 2b - c = 4
-3a - b - 2c = 5

Riešenie:

Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica [a; b; c] = [ ; ; ].

Kontrola Správne riešenie      

Cramerovo pravidlo:

Táto metóda umožňuje riešiť sústavu n-rovníc s n-neznámymi. Vhodnou metódou na riešenie sústav n-rovníc s n-neznámymi sa javí v prípade, ak n<4. pre n>3 je vhodnejšou metódou Gaussova eliminačná metóda. Cramerovo pravidlo predpokladá znalosť práce s maticami a determinantmi.

Príklad 3:

Riešte danú sústavu rovníc s neznámymi x, y, z ∈ R:

x - y - 2z = 2
2x + 4y + z = 1
3x - 2y - 3z = -1

Riešenie:

Danú sústavu si zapíšeme v tvare matíc A, B:

Matica A Matica B

Ak determinant matice je nenulový, tak daná sústava má práve jedno riešenie. A ako určíme determinant matice A?

Určenie determinantu matice A
1.4.(-3) + (-1).1.3 + (-2).2.(-2) (-2.4.3 + 1.1.(-2) + (-1).2.(-3)) = 13

Následne určíme determinanty D1, D2, D3 potrebné pre určenie neznámych. Tieto determinanty získame nahradením príslušného stĺpca determinantu

x + 4y + 3z = 18
2x - 3y + 2z = 2
3x + 5y - z = 10

Prvú rovnicu odpíšeme.(-2)-násobok prvej rovnice pripočítame k druhej rovnici (tým eliminujeme neznámu x v druhej rovnici) a (-3)-násobok prvej rovnice pripočítame k tretej rovnici (tým eliminujeme neznámu x v tretej rovnici).

x + 4y + 3z = 18
- 11y - 4z = -34
- 7y - 10z = -44

Prvú rovnicu odpíšeme. Aby sme pred neznámou y dostali v druhej a tretej rovnici navzájom opačné čísla, tak druhú rovnicu násobíme číslom (-7) a tretiu rovnicu číslom 11.

x + 4y + 3z = 18
77y + 28z = 238
- 77y - 110z = -484

1. a 2. rovnicu odpíšeme a 2. rovnicu pripočítame k tretej.

x + 4y + 3z = 18
77y + 28z = 238
- 82z = -246/ :(-82) ⇒ z = 3 ... dosadím do druhej rovnice

77y + 28·3 = 238y = 2 ... za x, y v 1. rovnici dosadíme vypočítané hodnoty

x + 4·2 + 3·3 = 18x = 1

Skúšku správnosti vykonáme dosadením vypočítaných hodnôt do všetkých troch rovníc.

Riešením danej sústavy rovníc je usporiadaná trojica [x,y,z]=[1, 2, 3].

Príklad 4:

Riešte sústavu rovníc s neznámymi abc ∈ R Cramerovym pravidlom:

3a - b + c = 5
5a - 2b - 3c = 4
-2a + 3b + 2c = -3

Riešenie:

Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica [a; b; c] = [ ; ; ].

Kontrola Správne riešenie      

Prihláste sa na Odber noviniek

Váš email:

Vyhľadať na Pohodovej matematike

Odporúčame:

Detská posteľ posteľ z masívu s perfektným úložným priestorom je určená do tvojej izby.
Posteľ do detskej izby s úložným priestorom

Citát

Matematika je kľúčom k všetkým ľudským vedomostiam.

L.Euler

vzdelavanie.objav.sk – referáty, knihy, kurzy

NAJ.sk

Katalógy webových stránok

Kalkulačky

Kalkulačka
Počítadlo: