Pridaj na:    Facebook    |    Pošli na twitterTwitter    |    Pošli na vybrali.sme.sk Vybrali.sme

Lineárne rovnice, riešenie lineárnych rovníc

Lineárnou rovnicou s neznámou x nazývame každú rovnicu tvaru ax + b = 0, kde a, b sú reálne čísla a a ≠ 0.

Pri riešení môžu nastať 3 prípady:

  • ak a≠0, potom ax = -b a rovnica má práve jeden koreň x = -b/a;
  • ak a = b = 0, po úprave dostaneme 0 = 0 a to je pravdivý výrok (rovnosť), takže pôvodná rovnica má nekonečne veľa riešení resp. koreňom tejto rovnice je každé reálne číslo;
  • ak a = 0, b ≠ 0, po úprave dostaneme 0 = -b, a keďže b ≠ 0, tak sme dostali nepravdivú rovnosť - pôvodná rovnica nemá žiadne riešenie.

Príklad 1:

Riešte rovnicu Lineárna rovnica s neznámou x ∈ R.

Riešenie:

Lineárna rovnica

Teda množina riešení danej rovnice je P = {-2}.

Môžeme si po krokoch povedať, ako sme postupovali:

  • najskôr odstránime zátvorky - v našom prípade vynásobením;
  • nezabudnite, že násobíme každý člen výrazu v zátvorke;

    napr. 2 · (3x - 7) - 5 = 6x - 14 - 5, teda násobím len výraz v zátvorke;
    je to akoby sme prečítali „dva krát zátvorka mínus päť“

    ale 2 · (3x - 7 - 5) = 6x - 14 - 10 = 6x - 24, násobíme aj číslo -5, lebo sa nachádza v zátvorke


  • odstránime zlomky (alebo zjednodušíme ľavú a pravú stranu rovnice a zlomky odstránime neskôr - ako v predchádzajúcom príklade);

    zlomky odstránime tak, že ľavú aj pravú stranu rovnice násobíme najmenším spoločným násobkom všetkých menovateľov (pozrite: hľadanie najmenšieho spoločného násobku dvoch čísel)

  • zjednodušíme obe strany rovnice a následne presunieme jednočleny s neznámou na jednu stranu rovnice ( vyberiem si ľavú alebo pravú ) a čísla na druhú stranu
  • opäť zjednodušíme a následne celú rovnicu delíme koeficientom pred neznámou, v našom prípade to bolo číslo -6;
  • skúšku správnosti prevedieme dosadením výsledku do zadania
  • ak sa Ľ = P, tak zapíšeme riešenie v tvare napr. K={-2} resp. P={-2}.

A teraz ešte niekoľko riešených príkladov

Ak sa vám prvý príklad zdal náročný, tak nasledovné začnú od najjednoduchších.

Príklad 2:

Riešte rovnicu 5x - 3 = 7

Riešenie:

5x - 3 = 7 /+3
5x = 10 / :5
x = 2

Skúška správnosti:

Ľ = 5 · 2 - 3 = 10 - 3 = 7
P = 7
Ľ = P

Teda množina riešení danej rovnice je P = {2}.


Príklad 3:

Riešte rovnicu 2x - 7 = 5x + 9

Riešenie:

2x - 7 = 5x + 9 / -5x +7
2x - 5x = 9 + 7
-3x = 16 / :(-3)
x = - 16/3

Skúška:

Ľ = 2 · (- 16/3) - 7 = - 32/3 - 7 = - 53/3
P = 5 · (- 16/3) + 9 = - 80/3 + 9 = - 53/3
Ľ = P

Teda množina riešení danej rovnice je P = {- 16/3}.


Príklad 4:

Riešte rovnicu: 5/2a - 7 = - 8/5 + 3a

Riešenie:

5/2a - 7 = - 8/5 + 3a / · 10
25a - 70 = -16 + 30a / -30a + 70
-5a = 54 / :(-5)
a = - 54/5

Skúška:

Ľ = 5/2 · (- 54/5) - 7 = -27 - 7 = - 34
P = - 8/5 + 3 · - 54/5 = - 8/5 - 162/5 = - 170/5 = -34
Ľ = P

Teda množina riešení danej rovnice je P = {- 54/5}.

Príklad 5:

Riešte rovnicu 2/3 · (6x - 1/2) = 3 - ( 2/3x + 2)

Riešenie:

2/3 · (6x - 1/2) = 3 - ( 2/3x + 2)
4x - 1/3 = 3 - 2/3x - 2 / · 3
12x - 1 = 9 - 2x - 6
12x - 1 = 3 - 2x / +2x +1
14x = 4 / :14
x = 4/14 = 2/7

Skúška:

Ľ = 2/3 · (6 · 2/7 - 1/2) = 8/7 - 1/3 = (8.3-1.7)/21 = 17/21
P = 3 - 2/3 · 2/7 - 2 = 1 - 4/21 = (1.21-4)/21 = 17/21
Ľ = P

Teda množina riešení danej rovnice je P = { 2/7}.

Grafické riešenie lineárnej rovnice:

Grafické riešenie spočíva v tom, že si pomocou ekvivalentných úprav upravíme rovnicu na tvar f1(x)=f2(x) alebo na tvar f(x)=0.

V prvom prípade zostrojíme grafy funkcií f1, f2, kde x-ové súradnice priesečníkov grafov predstavujú približné riešenie danej rovnice závislé od presnosti rysovania.

V druhom prípade zostrojíme graf funkcie f(x) a približným riešením danej rovnice budú priesečníky s osou x.

V prípade lineárnej funkcie je samozrejme jednoduchšie využiť algebraické riešenie.


Prihláste sa na Odber noviniek

Váš email:

Vyhľadať na Pohodovej matematike

Odporúčame:

Detská posteľ posteľ z masívu s perfektným úložným priestorom je určená do tvojej izby.
Posteľ do detskej izby s úložným priestorom

Citát

Dôležitá vec je neprestať sa pýtať.

A. Einstein

vzdelavanie.objav.sk – referáty, knihy, kurzy

NAJ.sk

Katalógy webových stránok

Kalkulačky

Kalkulačka
Počítadlo: