Pridaj na:    Facebook    |    Twitter    |     Vybrali.sme

Párne a nepárne funkcie

Nech pre funkcie f s definičným oborom D(f)) platí:

x ∈ D(f) a zároveň -x ∈ D(f)

V takom prípade rozlišujeme dva významné typy funkcií: párnu funkciu a nepárnu funkciu.

Párna funkcia:

Funkciu f nazývame párnou práve vtedy, keď pre každé x∈D(f) platí:

f(-x) = f(x)

---

Príklad 1:

Ktoré z daných funkcií sú párne?

1. f: y = |x|
2. g: y = x²
3. h: y = |x - 1|

Riešenie:

a) Pri riešení nám postačuje určiť f(-x) a zistiť, či je rovné f(x).

Spomenieme si na absolútnu hodnotu:

|a| = a pre a≥0 ... napr. |5| = 5
|a| = -a pre a<0 ... napr. |-3| = -(-3) = 3
Výsledok je vždy kladné číslo.

Keďže predpis funkcie je y = |x|, tak musíme uvažovať dva prípady:

1. prípad: Overíme rovnosť pre x ≥ 0

f(x) = |x| = x ... (v absolutnej hodnote je kladné číslo ... odstránením absolútnej hodnoty sa nič nemení)

f(-x) = |-x| = -(-x) = x ... (v absolutnej hodnote je záporné číslo ... odstránením absolútnej hodnoty sa mení dané číslo na kladné)

V tomto prípade teda f(-x) = f(x)

2. prípad: Overíme rovnosť pre x < 0

f(x) = |x| = -x ... (v absolutnej hodnote je záporné číslo ... odstránením absolútnej hodnoty sa mení dané číslo na kladné)

f(-x) = |-x| = -x = x ... (v absolutnej hodnote je kladné číslo ... odstránením absolútnej hodnoty sa nič nemení)

Aj v tomto prípade teda f(-x) = f(x)

Môžeme teda povedať, že f(-x) = f(x) pre každé x∈D(f), teda funkcia je párna.

b) g: y = x²

g(x) = x² pre každé x∈D(g)

g(-x) = (-x)² = x² pre každé x∈D(g) (vieme, že druhá mocnina ľubovoľného čísla je číslo nezáporné)

Opäť platí f(-x) = f(x) pre každé x∈D(f), teda funkcia je párna.

c) Keďže predpis funkcie je y = |x - 1|, tak musíme uvažovať dva prípady:

1. prípad: Overíme rovnosť pre x-1 ≥ 0, teda x ≥ 1

h(x) = |x-1| = x-1 ... (v absolutnej hodnote je kladné číslo ... odstránením absolútnej hodnoty sa nič nemení)

h(-x) = |-x-1| = -(-x-1) = x+1 ... (v absolutnej hodnote je záporné číslo ... odstránením absolútnej hodnoty sa mení dané číslo na kladné)

V tomto prípade teda h(-x) ≠ h(x) môžeme teda povedať, že funkcia nie je párna.

---

Nepárna funkcia:

Funkciu f nazývame nepárnou práve vtedy, keď pre každé x∈D(f) platí:

f(-x) = -f(x)

---

Príklad 2:

Ktoré z daných funkcií sú nepárne?

1. f: y = x
2. g: y = x² - 1
3. h: y = x - 1

Riešenie:

a) f(x) = x

f(-x) = -x = -f(x) ... môžeme teda povedať, že f(-x) = -f(x) pre každé x∈D(f), teda funkcia je nepárna.

b) g(x) = x² - 1

g(-x) = (-x²) - 1 = x² - 1 ≠ -g(x) pre každé x∈D(g), teda funkcia nie je nepárna.

Všimnite si, že v tomto prípade g(-x) = g(x), teda funkcia je párna.

c) h(x) = x - 1

h(-x) = -x-1 = -(x+1) ... (v absolutnej hodnote je kladné číslo ... odstránením absolútnej hodnoty sa nič nemení)

f(-x) = |-x-1| = -(-x-1) = x+1 ≠ -h(x) pre každé x∈D(h), teda funkcia nie je nepárna.

Všimnite si, že v tomto prípade h(-x) ≠ h(x), teda funkcia nie je ani párna.

---

Ako zistíme, či je funkcia párna alebo nepárna, ak poznáme iba jej graf?

Stačí, keď si zopakujeme pojmy osová a stredová súmernosť.

Funkcia je párna, ak jej graf je osovo súmerný podľa osi y.

Napríklad:

Funkcia je nepárna, ak jej graf je stredovo súmerný podľa bodu [0, 0].

Napríklad:

Katalógy webových stránok

Kalkulačky

Kalkulačka