Riešenie rýdzo kvadratickej rovnice
Kvadratická rovnica bez linárneho člena – tzv. rýdzo kvadratická rovnica je rovnica v tvare
ax2 + c = 0,
kde a, c ∈ R – {0}.
Tento typ rovnice riešime rozkladom na súčin v závislosti od konkrétnych hodnôt koeficientov a, c. Prečo? Najlepšie to pochopíte na príkladoch.
Príklad 1:
Riešte v množine R rovnicu: x2 – 9 = 0.
Riešenie:
x2 – 9 = 0
je zrejmé, že rovnicu môžeme rozložiť na súčin podľa vzťahu a2-b2=(a-b)(a+b)
(x – 3) · (x + 3) = 0
⇒ x – 3 = 0 alebo x + 3 = 0
Po vyriešení oboch lineárnych rovníc
x – 3 = 0 / +3
x = 3
x + 3 = 0 / -3
x = -3
získame korene danej kvadratickej rovnice.
Teda P = {-3, 3}.
Príklad 2:
Riešte v množine R rovnicu: -4x2 + 25 = 0.
Riešenie:
Riešime obdobne ako predošlý príklad – úpravou na súčin. Pre zjednodušenie môžeme vymeniť poradie kvadratického a absolútneho člena: 25 – 4x2 = 0.
(5 – 2x)(5 + 2x)=0
…
Teda P = {-2,5; 2,5}.
Na základe uvedených dvoch príkladov môžeme vysloviť záver:
Ak a<0 a b>0 alebo a>0 a b<0, tak daná rovnica má práve dva reálne korene.
Samozrejme, riešenie si môžeme aj urýchliť:
Príklad 3:
Riešte v množine R rovnicu: -4x2 + 16 = 0.
Riešenie:
-4x2 + 16 = 0 /-16
-4x2 = -16 /:(-4)
x2 = 4
x1, 2 = ±2
Teda P = {-2; 2}.
Tento spôsob riešenia skrýva úskalie. Častou chybou je, že študent rieši rovnicu x2 = 4 iba odmocnením, čiže x = 4 = 2 a to je chyba.
Správne:
|x| = 4 = 2, čiže x1, 2 = ±2
Zostáva nám overiť už iba jediné – ak oba koeficienty a, c sú kladné (záporné) čísla.
Príklad 4:
Riešte v množine R rovnicu: -4x2 – 16 = 0.
Riešenie:
-4x2 – 16 = 0 /+16
-4x2 = +16 /:(-4)
x2 = -4
Lenže druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla je vždy nezáporné číslo, čiže číslo ≥0, ale -4<0.
Daná rovnica teda nemá riešenie.
Teda P = {}.
K podobnému záveru ako v predošlom príklade by sme dospeli i pre kladné koeficienty a, c. Preto
Ak a<0 a b<0 alebo a>0 a b>0, tak daná rovnica nemá riešenie v obore reálnych čísel.