Riešenie kvadratickej rovnice
V predchádzajúcich článkoch sme si ukázali spôsob riešenia kvadratických rovníc, kde chýbal lineárny alebo absolútny člen, prípadne riešenie kvadratickej rovnice v normovanom tvare s využitím Vietovych vzorcov.
Čo ale v prípade, ak nemôžeme využiť ani jeden z predchádzajúcich spôsobov?
V takom prípade o riešiteľnosti danej kvadratickej rovnice ax2 + bx + c = 0 – či daná rovnica má alebo nemá riešenie, resp. aké sú hodnoty koreňov danej kvadratickej rovnice rozhoduje výraz
D = b2 – 4ac,
ktorý nazývame diskriminant.
Platí:
- ak D > 0, tak daná kvadratická rovnica má 2 rôzne reálne korene
- ak D = 0, tak daná kvadratická rovnica má dva rovnaké reálne korene, čiže tzv. dvojnásobný reálny koreň
- ak D < 0, tak daná kvadratická rovnica nemá riešenie v obore reálnych čísel (samozrejme v obore komplexnýxh čísel má dva imaginárne komplexne združené korene)
Z predchádzajúceho je zrejmé, že v prípade D≥0 má zmysel pokračovať v riešení kvadratickej rovnice.
Ako určíme korene x1, x2?
| x1, 2 = | -b ± D | resp. x1, 2 = | -b ± b2 – 4ac |
| 2a | 2a |
Príklad 1:
Riešte v množine R rovnicu: 5x2 – 2x – 3 = 0.
Riešenie:
D = b2 – 4ac = (-2)2 – 4·5·(-3) = 4 + 60 = 64
D > 0 ⇒ daná rovnica má dva rôzne reálne korene, ktoré vypočítame.
| x1, 2 = | -b ± D | = | -(-2) ± 64 | = | 2 ± 8 |
| 2a | 2·5 | 2·5 |
| Teda x1 = | 2 + 8 | = 1 | a | x2 = | 2 – 8 | = | -6 | = | -3 |
| 2·5 | 2·5 | 10 | 5 |
P = {-3/5, 1}
Príklad 2:
Riešte v množine R rovnicu: 25x2 – 10x + 1 = 0.
Riešenie:
D = b2 – 4ac = (-10)2 – 4·25·1 = 100 – 100 = 0
D = 0 ⇒ daná rovnica má dvojnásobný reálny koreň, ktorý vypočítame.
| x1, 2 = | -b ± D | = | -(-10) ± 0 | = | 10 | = | 1 |
| 2a | 2·25 | 50 | 5 |
P = {1/5}
Všimnite si:
Keď D=0, riešením je dvojnásobný koreň a v takom prípade (tí, ktorí ovládajú vzťah a2+2ab+b2=(a+b)2) nie je problém riešiť rovnicu úpravou podľa tohto vzťahu.
25x2 – 10x + 1 = 0
(5x – 1)2 = 0
5x – 1 = 0
5x = 1
x = 1/5
Príklad 3:
Riešte v množine R rovnicu: 2x2 – 2x + 3 = 0.
Riešenie:
D = b2 – 4ac = (-2)2 – 4·2·3 = 4 – 24 = -20
D < 0 ⇒ daná rovnica nemá v obore reálnych čísel riešenie.
P = {}
Pingback: Kompostovanie kvadratického trojčlena – Moderná matika