Lineárne rovnice, riešenie lineárnych rovníc

Lineárnou rovnicou s neznámou x nazývame každú rovnicu tvaru ax + b = 0, kde a, b sú reálne čísla a a ≠ 0.

Pri riešení môžu nastať 3 prípady:

  • ak a≠0, potom ax = -b a rovnica má práve jeden koreň x = -b/a;
  • ak a = b = 0, po úprave dostaneme 0 = 0 a to je pravdivý výrok (rovnosť), takže pôvodná rovnica má nekonečne veľa riešení resp. koreňom tejto rovnice je každé reálne číslo;
  • ak a = 0, b ≠ 0, po úprave dostaneme 0 = -b, a keďže b ≠ 0, tak sme dostali nepravdivú rovnosť – pôvodná rovnica nemá žiadne riešenie.

Príklad 1:

Riešte rovnicu Lineárna rovnica s neznámou x ∈ R.

Riešenie:

Lineárna rovnica

Teda množina riešení danej rovnice je P = {-2}.

Môžeme si po krokoch povedať, ako sme postupovali:

  • najskôr odstránime zátvorky – v našom prípade vynásobením;
  • nezabudnite, že násobíme každý člen výrazu v zátvorke;napr. 2 · (3x – 7) – 5 = 6x – 14 - 5, teda násobím len výraz v zátvorke;
    je to akoby sme prečítali „dva krát zátvorka mínus päť“

    ale 2 · (3x – 7 – 5) = 6x – 14 – 10 = 6x – 24, násobíme aj číslo -5, lebo sa nachádza v zátvorke

  • odstránime zlomky (alebo zjednodušíme ľavú a pravú stranu rovnice a zlomky odstránime neskôr – ako v predchádzajúcom príklade);zlomky odstránime tak, že ľavú aj pravú stranu rovnice násobíme najmenším spoločným násobkom všetkých menovateľov (pozrite: hľadanie najmenšieho spoločného násobku dvoch čísel)
  • zjednodušíme obe strany rovnice a následne presunieme jednočleny s neznámou na jednu stranu rovnice ( vyberiem si ľavú alebo pravú ) a čísla na druhú stranu
  • opäť zjednodušíme a následne celú rovnicu delíme koeficientom pred neznámou, v našom prípade to bolo číslo -6;
  • skúšku správnosti prevedieme dosadením výsledku do zadania
  • ak sa Ľ = P, tak zapíšeme riešenie v tvare napr. K={-2} resp. P={-2}.

A teraz ešte niekoľko riešených príkladov

Ak sa vám prvý príklad zdal náročný, tak nasledovné začnú od najjednoduchších.

Príklad 2:

Riešte rovnicu 5x – 3 = 7

Riešenie:

5x – 3 = 7 /+3
5x = 10 / :5
x = 2

Skúška správnosti:

Ľ = 5 · 2 – 3 = 10 – 3 = 7
P = 7
Ľ = P

Teda množina riešení danej rovnice je P = {2}.


Príklad 3:

Riešte rovnicu 2x – 7 = 5x + 9

Riešenie:

2x – 7 = 5x + 9 / -5x +7
2x – 5x = 9 + 7
-3x = 16 / :(-3)
x = - 16/3

Skúška:

Ľ = 2 · (- 16/3) – 7 = – 32/3 – 7 = – 53/3
P = 5 · (- 16/3) + 9 = – 80/3 + 9 = – 53/3
Ľ = P

Teda množina riešení danej rovnice je P = {- 16/3}.


Príklad 4:

Riešte rovnicu: 5/2a – 7 = – 8/5 + 3a

Riešenie:

5/2a – 7 = - 8/5 + 3a / · 10
25a – 70 = -16 + 30a / -30a + 70
-5a = 54 / :(-5)
a = - 54/5

Skúška:

Ľ = 5/2 · (- 54/5) – 7 = -27 – 7 = – 34
P = – 8/5 + 3 · – 54/5 = – 8/5162/5 = – 170/5 = -34
Ľ = P

Teda množina riešení danej rovnice je P = {- 54/5}.

Príklad 5:

Riešte rovnicu 2/3 · (6x – 1/2) = 3 – ( 2/3x + 2)

Riešenie:

2/3 · (6x – 1/2) = 3 – ( 2/3x + 2)
4x – 1/3 = 3 – 2/3x – 2 / · 3
12x – 1 = 9 – 2x – 6
12x – 1 = 3 – 2x / +2x +1
14x = 4 / :14
x = 4/14 = 2/7

Skúška:

Ľ = 2/3 · (6 · 2/71/2) = 8/71/3 = (8.3-1.7)/21 = 17/21
P = 3 – 2/3 · 2/7 – 2 = 1 – 4/21 = (1.21-4)/21 = 17/21
Ľ = P

Teda množina riešení danej rovnice je P = { 2/7}.

Grafické riešenie lineárnej rovnice:

Grafické riešenie spočíva v tom, že si pomocou ekvivalentných úprav upravíme rovnicu na tvar f1(x)=f2(x) alebo na tvar f(x)=0.

V prvom prípade zostrojíme grafy funkcií f1, f2, kde x-ové súradnice priesečníkov grafov predstavujú približné riešenie danej rovnice závislé od presnosti rysovania.

V druhom prípade zostrojíme graf funkcie f(x) a približným riešením danej rovnice budú priesečníky s osou x.

V prípade lineárnej funkcie je samozrejme jednoduchšie využiť algebraické riešenie.


Rudolf Zrebný

Učiteľ matematiky a informatiky at Obchodná akadémia, Veľká okružná 32, Žilina
Som obyčajný človek, ktorý má rád matematiku. Aj to je dôvod, prečo som sa stal učiteľom matematiky a vo voľných chvíľach pracujem na webe pohodovamatematika.sk. Časť voľného času venujem tvorbe webových stránok a bicyklovaniu v prírode. Inak sa snažím väčšinu dňa prežiť s mojou krásnou rodinkou.

Latest posts by Rudolf Zrebný (see all)