Funkčná závislosť, funkcia
Funkcia je jeden z najdôležitejších matematických pojmov. Používa sa nielen v matematike, ale aj vo fyzike a ďalších technických a iných oboroch.
Fyzikálne zákony sa vyjadrujú vo forme funkčnej závislosti jednej veličiny (tzv. závislá premenná) na druhej veličine (tzv. nezávislá premenná). Často sa jednoducho hovorí: „Prvá veličina je funkciou druhej veličiny“, napr. dráha je funkciou času, a pod.
Funkčnou závislosťou vo fyzike rozumieme jednoznačný vzťah medzi fyzikálnymi veličinami, kdežto v matematike je to len jednoznačné priradenie medzi číselnými hodnotami premenných.
Poďme si teda priblížiť samotný pojem funkcia.
Nech A, B sú neprázdne množiny reálnych čísel (A ⊂ R, B = R). Ak ku každému číslu x∈A priradíme PRÁVE JEDNO y∈B, tak dostaneme množinu f usporiadaných dvojíc (x, y) reálnych čísel, ktorá sa nazýva reálna funkcia reálnej premennej x.
Základné pojmy:
x – premenná resp. argument funkcie f;
y – hodnota premennej resp. argumentu; často hovoríme i funkčná hodnota v bode x (alebo hodnota funkcie f v bode x) a označujeme ju i f(x) alebo používame zápis y = f(x).
Napríklad:
Daná je funkcia f: y = 3x – 7. Určte hodnotu funkcie f pre x = -3.
Pri určení funkčnej hodnoty dosadíme -3 za x v predpise funkcie.
f(-3) = 3·(-3) – 7 = -9 – 7 = -16
Odpoveď: Funčná hodnota v bode -3 je -16.
Iný prípad:
Daná je funkcia f: y = 3x – 7. Zistite pre aký hodnotu premennej x je funkčná hodnota f(x)=11.
Funkčná hodnota v bode x je vlastne y, takže do predpisu funkcie dosadíme 11 za y a vypočítame x.
f(x)=11
3x – 7 = 11
3x = 18
x = 6.
Odpoveď: Hodnota funkcie f je rovná 11 pre x rovné 6.
D(f) resp. Df označuje definičný obor funkcie f, čo je množina všetkých hodnôt premennej x, teda v našom prípade množiny A.
H(f) resp. Hf označuje obor hodnôt funkcie f, čo je množina všetkých hodnôt funkcie f.